Beschleunigung

Physikalische Größe
Name	Beschleunigung
Formelzeichen der Größe	$\vec a$
Größen- und Einheiten- system Einheit Dimension SI $\mathrm{\, \frac{m}{s^2}}$ L·T –2 CGS $\mathrm{\, \frac{cm}{s^2}}$ L·T –2 Planck Planck-Beschleunigung ħ–1/2·G–1/2·c7/2

Beschleunigung bezeichnet die Änderung einer Geschwindigkeit. Das Wort wird in zwei etwas verschiedenen Bedeutungen benutzt:

• Erhöhung des Betrags einer Geschwindigkeit. Dies ist die umgangssprachliche Bedeutung, die sich aber zum Beispiel auch im Fachbegriff Teilchenbeschleuniger findet.
• Im physikalischen Sinn jede Änderung des Geschwindigkeitsvektors. Dies schließt eine Verminderung der Geschwindigkeit oder eine Richtungsänderung bei gleich bleibendem Geschwindigkeitsbetrag ein. Die Beschleunigung in diesem Sinne ist die zeitliche Ableitung des Geschwindigkeitsvektors oder die zweite zeitliche Ableitung des Ortsvektors.

$\vec a(t) = \dot{\vec v}(t) = \ddot{\vec r}(t)$

Die SI-Einheit der Beschleunigung ist m/s². Zum Verständnis braucht man nur die Definition zu bedenken, dass die Beschleunigung angibt, wie viele Geschwindigkeitseinheiten (in m/s) nun pro Zeiteinheit (in s) dazukommen (bzw. abgezogen werden), also muss die Einheit m/s durch einen weiteren Faktor s dividiert werden, was zu m/s² führt.

Die Beschleunigung ist eine vektorielle Größe, eine der wesentlichen der klassischen Mechanik, deren Dynamik (Änderung der Beschleunigung unter Einwirkung von Kräften) erstmals von Isaac Newton beschrieben wurde (siehe auch Newton-Axiome).

Damit eine Beschleunigung auftreten kann, ist immer eine Kraft notwendig. Für Systeme mit konstanter Masse in einem Inertialsystem ergibt sich die Beschleunigung aus dem Verhältnis von Kraft zu Masse

$\vec a=\frac{\vec F}{m}$.

Beschleunigungsvorgänge spielen in allen bewegten Systemen, wie z. B. Fahrzeugen, Flugzeugen oder Aufzügen, eine wichtige Rolle und sind aufgrund der in diesem Zusammenhang auftretenden Trägheitskräfte für die darin beförderten Menschen und Sachen meist deutlich spürbar.

Definition

Die Beschleunigung $\vec a$ ist eine physikalische Größe aus der Kinematik, die definiert ist als die Geschwindigkeitsänderung $\mathrm{d} \vec{v}$ pro Zeitintervall dt. Sie ist also die zeitliche Ableitung

$\vec a(t) = \frac{\mathrm{d}\vec v(t)}{\mathrm{d}t} = \dot{\vec v}(t)$

Da die Geschwindigkeit die Ableitung des Ortes nach der Zeit ist, kann man die Beschleunigung auch als zweite Ableitung des Ortsvektors $\vec r$ darstellen

$\vec a(t) = \frac{\mathrm{d}^2\vec r(t)}{\mathrm{d} t^2} = \ddot{\vec r}(t)$

Eine mittlere Beschleunigung kann aus der Differenz der Geschwindigkeiten Δv = v(t₂) − v(t₁) zu zwei verschiedenen Zeitpunkten t₁ und t₂ dividiert durch das zwischen den beiden Zeitpunkten verstrichene Zeitintervall Δt = t₂ − t₁ berechnet werden

$\vec a = \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}$.

Der Vektor der Geschwindigkeit kann als Produkt aus dem Betrag v der Geschwindigkeit und dem Tangenteneinheitsvektor ${\hat{t}}$ dargestellt werden:

$\vec{v}=v\,\hat{t}$

Die Ableitung dieses Ausdrucks nach der Zeit ist die Beschleunigung. Die zeitliche Ableitung des Tangenteneinheitsvektors kann über die Bogenlänge s berechnet werden:

$\vec{a}=\frac{\mathrm d\vec v }{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d(v\hat t)}{\mathrm dt}=\left( \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt} \right)\hat t +v\left( \frac{\mathrm d\hat t}{\mathrm dt} \right)$    mit    $\frac{\mathrm d\hat t}{\mathrm dt}=\underbrace{\frac{\mathrm d\hat t}{\mathrm ds}}_{\hat n/\rho}\underbrace{\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}}_{v}=\frac{v}{\rho} \hat n$

$\vec a =a_{t}\hat{t}+a_{n}\hat n = \dot{v}\hat t +\frac{v^{2}}{\rho } \hat n$

Dabei ist ρ der Krümmungsradius der Bahn und $\hat n$ der Normaleneinheitsvektor quer zur Bahnkurve in Richtung des Krümmungsmittelpunkts.

Die Beschleunigung $\vec a$ kann aufgeteilt werden in eine zur Bewegungsrichtung $\vec v$ parallelen Beschleunigung (Tangentialbeschleunigung)

$a_{t}=\dot{v}$

und eine senkrecht dazu stehende Normalbeschleunigung

$a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho }$.

Die zeitliche Ableitung der Beschleunigung (also die dritte Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit) ist der Ruck:

$\vec {j}(t)= \dot \vec {a}(t)=\ddot \vec {v}(t) = {\mathrm d^3\vec {r}(t)\over \mathrm{d}t^3}$,

Sonderfälle der Beschleunigung

• Verschwindende Beschleunigung ($\vec a = \vec 0$): Die Geschwindigkeit bleibt in Betrag und Richtung unverändert, der Körper verharrt in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung.
• Eine Beschleunigung entgegen der momentanen Bewegungsrichtung wird auch Bremsung oder Verzögerung genannt.
• Konstante Beschleunigung in Richtung der Geschwindigkeit führt im Rahmen der klassischen Mechanik zu gleichmäßig beschleunigter Bewegung mit zeitlich gleichförmig wachsender Geschwindigkeit. Nach der speziellen Relativitätstheorie gilt dies nur näherungsweise. Wobei die Näherung sehr gut ist, wenn die beteiligten Geschwindigkeiten sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind.
• Eine Kreisbewegung mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag kommt zustande, wenn eine konstante Zentripetalbeschleunigung besteht. Diese Beschleunigung ist nach innen auf den Kreismittelpunkt hin gerichtet, also immer exakt quer zur jeweiligen momentanen Bewegungsrichtung auf der Kreisbahn. Ein mitbewegter Beobachter hingegen spürt eine gleich große Beschleunigung vom Mittelpunkt weg nach außen (Zentrifugalbeschleunigung). Durch die rechtwinklige Richtung der Zentripetalkraft zur Bewegungsrichtung wird nicht der Betrag der Geschwindigkeit verändert, sondern immer nur deren Richtung, eben um eine Kreisbahn zu formen.
• Beim freien Fall auf der Erde werden alle Körper mit der Erdschwerebeschleunigung von g = 9,81m / s² in Richtung Erdmittelpunkt beschleunigt. Allerdings gibt es regionale Schwankungen, da die Erdgestalt von einer Kugel abweicht (Erdabplattung) und der innere Aufbau der Erde nicht völlig homogen ist (siehe Schwereanomalie).

Ruck

Der Ruck, die zeitliche Änderung einer Beschleunigung, hat z. B. eine Bedeutung bei der dynamischen Anregung von Maschinen und anderen schwingungsfähigen Systemen. So vollführt bei einer Autofahrt der Beifahrer einen „Kopfnicker“, wenn der Fahrer zu schnell einkuppelt. Die zeitliche Änderung einer Zentripetalbeschleunigung heißt Querruck.

Messung der Beschleunigung

Es existiert eine Vielzahl von Beschleunigungssensoren für verschiedene Anwendungen, von hohen Messbereichen (z. B. +/- 50.000 g) bis zu hochgenauen Messungen. Dies ermöglicht durch zweifache Integration über die Zeit eine Ortsbestimmung von Flugzeugen über einen mittellangen Zeitraum (z. B. für den Fall, dass das GPS-System ausfällt.)

Beispiele für die Größe von Beschleunigungen

• Die Beschleunigung beim freien Fall ohne Luftwiderstand in der Nähe der Erdoberfläche, üblicherweise mit g bezeichnet, beträgt etwa 9,81 m/s². Damit wird eine Geschwindigkeit von 100 km/h in 2,83 Sekunden erreicht.
• Bei Nähmaschinen wirken auf die Nadel Beschleunigungen von bis zu 6.000 g.
• Bei einer Waschmaschine wirken im Schleudergang mehr als 300 g auf den Trommelinhalt.
• Beim Fahrradfahren treten Beschleunigungen von etwa 1 m/s² auf (Freizeitfahrer) und bei Sportprofis etwa 2 m/s².
• Ein Mittelklassewagen kann Beschleunigungen bis zu 5 m/s² und Autos höherer Klasse sogar mehr als 6 m/s² hervorbringen.
• Beim Bremsen eines Autos treten negative Beschleunigungen von bis zu 10,5 m/s² auf.
• Bei den Dragster-Fahrzeugen der Top-Fuel-Klasse treten beim Start +6 g (60 m/s²) und beim Abbremsen −6 g an Beschleunigung auf.
• Ein vollbeladener Jumbo-Jet erfährt eine Beschleunigung von etwa 1,6 m/s².
• Der ICE erreicht eine Beschleunigung von etwa 0,5 m/s², ein moderner S-Bahn-Triebwagen sogar 1,0 m/s².
• Während der ersten Schritte eines Sprints wirken Beschleunigungen von etwa 4 m/s² auf den Sportler.
• Die Kugel beim Kugelstoßen wird bei der Abstoßphase mit etwa 10 m/s² beschleunigt.
• Ein Tennisball kann Beschleunigungen bis zu 10.000 m/s² erfahren.
• Tischzentrifugen im Laborbedarf können Beschleunigungen von 12.000 g erzielen.
• Ultrazentrifugen im Laborbedarf können Beschleunigungen von 200.000 g erzielen.
• Auf der Achterbahn Silverstar im Europa-Park herrschen Vertikalbeschleunigungen von bis zu 4 g (etwa 40 m/s²).
• Bei Nesselzellen wird der Stachel mit bis zu 5.410.000 g beschleunigt.
• Bei einer Atombombenexplosion werden Beschleunigungen von bis zu 100 Milliarden g erreicht.
• Am Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs mit etwa 3 Sonnenmassen werden etwa 500 Milliarden g erzeugt.
• Ein Elektron, das zwischen zwei Platten im Vakuum (Spannung 5,7 V und Entfernung 5 cm) liegt, wird mit etwa 2 Billionen g beschleunigt.

Umgangssprachliche Verwendung

• Bei Kraftfahrzeugen wird die erreichbare Beschleunigung als ein wesentlicher Parameter zur Klassifizierung der Leistung verwendet. Es wird dabei jedoch nicht direkt die physikalische Größe angegeben (die ohnehin je nach Geschwindigkeit und Fahrzustand verschieden ist), sondern meist eine Art Mittelwert in der Form „Sekunden von 0 auf 100 km/h“ (auch 160 oder 200 km/h).
• Die „Kosmologische Beschleunigung“ ist ein für die Expansion des Universums verwendeter Ausdruck.
• In der Psychologie wird die subjektiv empfundene zunehmende Geschwindigkeit im täglichen Leben mit der Alterung in Verbindung gebracht (siehe hierzu auch Entschleunigung, Gerontologie).

Weblinks

 Wiktionary: Beschleunigung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Untersuchungen zur Beschleunigung an der Atwoodschen Fallmaschine
• Umrechnen zwischen den verschiedenen Einheiten der Beschleunigung

Siehe auch

• Bremsverzögerung