Betragsfunktion

Verlauf der Betragsfunktion auf $\R$

In der Mathematik ordnet die Betragsfunktion einer reellen oder komplexen Zahl ihren Abstand zur Null zu. Dieser sogenannte absolute Betrag, Absolutwert oder auch schlicht Betrag ist immer eine nichtnegative reelle Zahl. Der Betrag einer Zahl x wird meist mit |x|, seltener mit $\operatorname{abs}(x)$ bezeichnet.

Definition

Reelle Betragsfunktion

Den absoluten Betrag einer reellen Zahl erhält man durch Weglassen des Vorzeichens. Auf der Zahlengeraden bedeutet der Betrag den Abstand der gegebenen Zahl von Null.

Für eine reelle Zahl x gilt:

$|x| = \begin{cases} \ \;\,\ \ x &\mathrm{f\ddot ur}\ x \ge 0\\ \ \;\, - x &\mathrm{f\ddot ur}\ x < 0 \end{cases}$

Komplexe Betragsfunktion

Für eine komplexe Zahl $z=x+\mathrm{i}\,y$ mit reellen Zahlen x und y definiert man

$|z| = \sqrt{z \cdot \bar z} = \sqrt{(x + \mathrm{i}\,y) \cdot (x - \mathrm{i}\,y)} = \sqrt{x^2 + y^2}$,

wobei $\bar z$ die komplex Konjugierte von z bezeichnet. Ist z reell (d.h. y = 0, also z = x), so geht diese Definition in

$|x| = \sqrt{x^2}$

über, was mit der obigen Definition für den Betrag einer reellen Zahl x übereinstimmt.

Veranschaulicht man die komplexen Zahlen als Punkte der gaußschen Zahlenebene, so entspricht diese Definition nach dem Satz des Pythagoras ebenfalls dem Abstand des zur Zahl z gehörenden Punktes vom sogenannten Nullpunkt.

Eigenschaften

• Die reelle Betragsfunktion $|\cdot|: \; \Bbb R\to \R_0^+, \; x\mapsto |x|$ ist überall stetig, jedoch an der Stelle 0 nicht differenzierbar. Sie ist aber schwach differenzierbar und ihre schwache Ableitung stimmt fast überall mit der Signumfunktion überein.
• Die komplexe Betragsfunktion $|\cdot|: \; \Bbb C\to \R_0^+, \; z\mapsto |z|$ ist überall stetig und nirgends komplex differenzierbar, da die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen nicht erfüllt sind.
• Definitionsbereich: Die Betragsfunktion ist auf ganz $\C$ definiert.
• Die einzige Nullstelle ist 0 (d.h. | z | = 0 genau dann, wenn z = 0)
• Für alle $z \in \mathbb{C}$ gilt: $z = |z| \cdot \sgn(z)$, wobei sgn  die Signumfunktion bezeichnet.

Beispiele

$|+7| = 7 \,$

$|-8| = -(-8) = 8 \,$

$|3+4\mathrm{i}| = \sqrt{(3+4\mathrm{i}) \cdot (3-4\mathrm{i})} = \sqrt{3^2 - (4\mathrm{i})^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

Gleichung mit Absolutbetrag: Gesucht sind alle Zahlen $x\in\R$, welche die Gleichung $|x+3| = 5 \,$ erfüllen.

Man rechnet wie folgt:

$|x+3| = 5 \,$

$\Leftrightarrow x+3 = 5 \text{ oder } x+3 = -5$

$\Leftrightarrow x = 5-3 \text{ oder } x = -5-3$

$\Leftrightarrow x = 2 \text{ oder } x = -8$

Die Gleichung besitzt also genau zwei Lösungen für x, nämlich 2 und -8.

Betrag und Metrik

Über den Betrag kann man eine Abstandsfunktion (Metrik) definieren: Der Abstand d(x,y) zweier Zahlen x und y ist der Betrag | x − y | ihrer Differenz.

Ist der Betrag nichtarchimedisch (siehe unten), dann ist die erzeugte Metrik eine Ultrametrik.

Verallgemeinerung: Betrag und Bewertung

Verallgemeinert spricht man von einem Betrag, wenn eine Funktion |·| von einem Körper K in die reellen Zahlen folgende Eigenschaften erfüllt:

1. $|x| \geq 0$ für alle x und | x | = 0 genau dann, wenn x = 0
2. $|x| \cdot |y| = |x \cdot y|$ für alle x,y
3. $|x + y| \leq |x| + |y|$ (die Dreiecksungleichung)

Gilt zudem

4. $|x + y|\leq\max(|x|,|y|)$ für alle x,y,

so spricht man von einem ultrametrischen oder nichtarchimedischen, andernfalls von einem archimedischen Betrag. Die oben genannte Betragsfunktion auf den reellen bzw. komplexen Zahlen ist archimedisch. Da 3. aus 4. folgt, nennt man 4. auch die verschärfte Dreiecksungleichung. Nichtarchimedische Beträge spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der p-adischen Zahlen.

Hat man einen nichtarchimedischen Betrag |·| und wählt eine reelle Zahl b > 1, dann hat die Funktion $v\colon K\to\R\cup\{\infty\}$ mit
v(x) = − log _b | x | für | x | > 0 und $v(0) = \infty$ folgende Eigenschaften:

1. $v(x) = \infty$ genau dann, wenn x = 0
2. $v(x \cdot y)=v\left(x\right)+v\left(y\right)$ für alle x,y
3. $v(x + y) \geq\min\left(v\left(x\right),v\left(y\right)\right)$

Eine Funktion $v\colon K\to\R\cup\{\infty\}$ mit diesen drei Eigenschaften nennt man eine Bewertung auf K.

Umgekehrt kann man einer Bewertung v einen nichtarchimedischen Betrag zuordnen, indem man (mit einer reellen Zahl b > 1) | x | : = b ^{− v(x)} setzt.

Weitere Verallgemeinerungen

Der Absolutbetrag ist eine spezielle Norm; den Begriff Norm kann man als eine Verallgemeinerung des Begriffes Absolutbetrag verstehen.

Eine Abschwächung der Axiome für den Betrag führt auf den Begriff des Pseudobetrags.

Siehe auch

• Betrag (Vektor)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Absolute Value. In: MathWorld. (englisch)