Sägezahnschwingung

Schematischer Graph einer Kippschwingung

Als Kippschwingung oder Sägezahnschwingung wird eine besondere Form periodischer, nicht-sinusförmiger Schwingungen bezeichnet. Im Gegensatz zur harmonischen Schwingung, bei denen Hin- und Herbewegung symmetrisch ablaufen, folgt bei der Kippschwingung einer langsamen Aufladung eine sehr schnelle Entladung, die typisch für einen Vorgang ist, bei dem die Entladung mit einem Mal durch das Erreichen eines Schwellenwertes ausgelöst wird. Entsprechend dem Aussehen ihrer grafischen Darstellung wird sie auch „Sägezahnschwingung“ genannt. Die Kurve der Kippschwingung ist im allgemeinen aufsteigend, d. h. dass das Signal kontinuierlich ansteigt um dann abrupt abzufallen.

Mathematische Beschreibung

Sägezahnschwingung als Überlagerung von unterschiedlicher Anzahl von Harmonischen.

Die ideale Kippschwingung lässt sich als eine abschnittsweise stetige und lineare Funktion mit dem Parameter t ohne Skalierungsfaktoren ausdrücken als

$x(t) = t - \lfloor t \rfloor \,$

wobei der Ausdruck $\lfloor t \rfloor$ die Gaußklammer (Abrundungsfunktion) darstellt. Im Englischen wird dafür auch die Bezeichnung floor(t) verwendet.

Wie jede periodische Funktion lässt sich auch der Sägezahnverlauf in einer dazu gleichwertigen Darstellung mittels Fourierreihe ausdrücken

$x(t) = c \cdot \sum_{k=1}^{\infin} \frac {\sin (2\pi kft)}{k} \,$

mit einem Skalierungsfaktor c ≠ 0. Erwähnenswert ist, dass bei der Sägezahnfunktion geradzahlige und ungeradzahlige Vielfache der Grundfrequenz f im Spektrum auftreten.

In realen Systemen tritt durch die Bandbegrenzung nur eine endliche Anzahl von Summanden auf. Die Summe der harmonischen Schwingungen resultiert dann in einen verzerrten Sägezahnverlauf. Dieser Effekt ist in nebenstehender Abbildung mit nur einer endlichen Anzahl von Sinusschwingungen grafisch verdeutlicht.

Im Bereich der diskreten Signalverarbeitung ist es ausreichend, die Anzahl der zu bestimmenden Oberschwingungen auf die halbe Abtastrate zu limitieren.

Anwendungen

Hörbeispiel für eine Sägezahnschwingung

Eine Besonderheit dieser Schwingungsform ist, dass sie theoretisch alle ganzzahligen Vielfachen einer Grundfrequenz in den Oberschwingungen enthält, die man Harmonische nennt. Das große Spektrum hat allgemein Vorteile bei der Anwendung in elektronischen Musikinstrumenten wie vor allem der elektronischen Orgel mit subtraktiver Klangsynthese. Durch Filterung der Sägezahnschwingung können aus einer einzelnen generierten Schwingung verschiedene Obertöne bevorzugt werden, wie sie für die Klangfarben der Orgel benötigt werden, z. B. eher Richtung Trompeten- oder Flötenklang. Typische Kippschwingungen werden u. a. auch bei Streichinstrumenten erzeugt

Daneben wird die Kippschwingung in Oszillographen zur horizontalen Ablenkung des Elektronenstrahls benutzt. In Kathodenstrahlröhrenbildschirmen (beispielsweise in herkömmlichen Röhrenfernsehern) wird der Elektronenstrahl sowohl in horizontaler, als auch in vertikaler Richtung mit einer Kippschwingung angesteuert, wobei die Frequenz der horizontalen Ablenkung in der Regel die deutlich höhere ist.

Beispiele

Ein einfaches Beispiel für eine Kippschwingung ist ein asymmetrischer Behälter, der drehbar befestigt ist und gleichmäßig mit Wasser befüllt wird. Erreicht der Inhalt eine bestimmte Grenze, kippt der Behälter und das Wasser läuft aus.

In der Elektronik können Kippschwingungen mit Hilfe einer Glimmlampe oder durch komplexere Schaltungen wie den Sperrschwinger, Miller-Transitron oder Kippschwinger erzeugt werden.

Literatur

• Curt Rint: Handbuch für Hochfrequenz- und Elektro- Techniker Band 2. 13. Auflage. Hüthing und Pflaum Verlag GmbH, Heidelberg 1981, ISBN 3-778-50699-4.
• Gregor Häberle, Heinz Häberle, Thomas Kleiber: Fachkunde Radio-, Fernseh-, und Funkelektronik. 3. Auflage. Verlag Europa Lehrmittel, Haan-Gruiten 1996, ISBN 3-808-53263-7.
• Helmuth Wilhelms, Dieter Blank, Hans Mohn: Elektro-Fachkunde 3 Nachrichtentechnik. 1. Auflage. B.G. Teubner Verlag, Stuttgart 1982, ISBN 3-519-06807-9.

Siehe auch

• Oszillatorschaltung
• Fourieranalyse
• Fourier-Transformation
• Rechteckschwingung
• Schwebung