Transferfunktionsmodell

Unter einem Transferfunktionsmodell wird in der Zeitreihenanalyse ein univariates Zeitreihenmodell verstanden, bei dem die Zielvariable Y_t außer von sich selbst und einer unbeobachtbaren Schockvariablen Z_t von weiteren beobachtbaren Variablen X_mt dynamisch abhängig sein kann. Im Gegensatz zu Vektorprozessen finden nur ein Einfluss der X_mt auf Y_t statt und nicht umgekehrt. Ein solches Modell kann auch als univariates dynamisches Modell mit Inputvariablen angesehen werden. Formal lässt sich folgende Darstellung wählen:

$Y_t=\nu(L)X_t+\frac{\Theta(L)}{\Phi(L)}Z_t$

Dabei ist X_t die Inputvariable. Im Gegensatz zum Interventionsmodell kann diese Inputvariable mehr Ausprägungen haben als die Indikatorfunktion (nur 0 und 1). Y_t kann dabei als Outputvariable bezeichnet werden. Y_t = ν(L) wird als Transferfunktion bezeichnet. Diese Funktion ist in ihrer Wirkung auf die Zeitreihe mit der Impuls-Antwort-Funktion des Interventionsmodells vergleichbar. Das Transferfunktionsmodell ist stabil, wenn die Impuls-Antwort-Gewichte absolut summierbar sind. Somit würde ein beschränkter Input auch einen beschränkten Output erzeugen. Das Modell heißt kausal, wenn Y_t keine vorlaufende Funktion von X_t ist. X ist bezüglich Y exogen und es gibt keine Feedback-Beziehung von Y zu X.

Zur Identifikation des Modells wird auf das Instrument der Kreuzkorrelationsfunktion zurückgegriffen. Diese Funktion ist im Gegensatz zur Autokorrelationsfunktion nicht symmetrisch um l. Die Beziehung zwischen der Kreuzkorrelations- und der Transferfunktion ist recht kompliziert:

$\rho(l)=\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}[\nu_0\rho_X(l)+\nu_1\rho_X(l-1)+\nu_2\rho_X(l-2)+...]$.

Das hier zu lösende simultane Gleichungssystem ist recht kompliziert. Einfacher hätte man es, wenn folgender Zusammenhang herstellbar wäre:

$\nu=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\rho_{XY}(l)$.

Damit wäre ν_l proportional zum Kreuzkorrelationskoeffizienten ρ_XY(l). Dieses kann erreicht werden, in dem man den Input so transformiert, dass dieser Weißes Rauschen wird. Bei der als "Vorweißen" genannten Transformation wird davon ausgegangen, dass die Inputreihe X_t als ARMA-Prozess aufgefasst wird:

Φ_Y(L)X_t = Θ_X(L)α_t. Nach umformen ergibt sich die vorgeweißte Inputreihe:

$\alpha_t=\frac{\Phi_X(L)}{\Theta_X(L)}X_t$

Nun muss noch dieselbe Transformation auf die Outputvariable Y_t angewandt werden:

$\beta_t=\frac{\Phi_X(L)}{\Theta_X(L)}Y_t$.

Das ursprüngliche Transferfunktionsmodell lässt sich nun als:

β_t = ν(L)α_t + ε_t auffassen. α_t ist dabei Weißes Rauschen. β_t und ε_t sind in der Regel kein Weißes Rauschen. Für den Kreuzkorrelationskoeffizienten der transformierten Zeitreihe erhält man:

$\nu=\frac{\sigma_\beta}{\sigma_\alpha}\rho_{\alpha\beta}(l)$.

Mit diesem Ergebnis kann die Schätzung wie im ARMA-Modell erfolgen.