Gaußsche Psi-Funktion

Die Digamma-Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, die definiert wird als:

$\psi(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\log\Gamma(x) = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$

Sie ist also die logarithmische Ableitung der Gammafunktion. Die Digamma-Funktion ist die erste der Polygammafunktionen.

Berechnung

Die Beziehung zu der harmonischen Reihe

Die Digammafunktion, welche meist als ψ₀(x), ψ⁰(x) oder $\digamma$ (nach der Form des veralteten griechischen Buchstaben Ϝ digamma) dargestellt wird, steht mit der harmonischen Reihe in folgender Beziehung:

$\psi(n) = H_{n-1}-\gamma\!$

wobei H_n das n-te Element der harmonischen Reihe und γ die Euler-Mascheroni-Konstante ist. Für halbzahlige Werte kann sie geschrieben werden als

$\psi\left(n+{\frac{1}{2}}\right) = -\gamma - 2\ln 2 + \sum_{k=1}^n \frac{2}{2k-1}.$

Integral-Darstellung

Die Digammafunktion kann wie folgt als Integral dargestellt werden:

$\psi(x) = \int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-xt}}{1 - e^{-t}}\right)\, \mathrm dt.$

Dies kann auch geschrieben werden als

$\psi(s+1)= -\gamma + \int_0^1 \frac {1-x^s}{1-x} \, \mathrm dx.$

Dies folgt aus der Formel für das Euler-Integral für die harmonische Reihe.

Taylor-Reihe

Durch Reihenentwicklung der Taylor-Reihe um den Punkt z=1 kann die Digammafunktion wie folgt dargestellt werden

$\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1)\;(-z)^k.$

Sie konvergiert für |z|<1. Dabei ist ζ(n) die Riemannsche ζ-Funktion. Die Reihe kann leicht von der zugehörigen Taylor-Reihe für die Hurwitzsche ζ-Funktion hergeleitet werden.

Binomische Reihe

Die Binomische Reihe für die Digammafunktion folgt aus dem Euler-Integral

$\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} {s \choose k},$

wobei

${s \choose k}$

der Binomialkoeffizient ist.

Spiegelgleichung

Die Digammafunktion genügt folgender Spiegelgleichung, welche der der Gammafunktion ähnelt:

$\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }.$

Hiermit kann allerdings nicht ψ(1/2) berechnet werden; dieser Wert ist unten angegeben.

Rekursionsformel

Die Digamma-Funktion genügt der Rekursionsformel

$\psi(x + 1) = \psi(x) + \frac{1}{x}.$

oder

$\Delta [\psi] (x) = \frac{1}{x},$

wobei Δ der rechtsseitige Differenzoperator ist. Dies erfüllt die Rekursionsbeziehung der harmonischen Reihe. Daraus folgt

$\psi(n)\ =\ H_{n-1} - \gamma.$

Allgemeiner gilt:

$\psi(x) = -\gamma + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{x+k-1} \right).$

Gaußsche Summe

Die Digammafunktion hat eine Gaußsche Summe der Form

$-\frac1{\pi k} \sum_{n=1}^k \sin \left( \frac{2\pi nm}{k}\right) \psi \left(\frac{n}{k}\right) = \zeta\left(0,\frac{m}{k}\right) = -B_1 \left(\frac{m}{k}\right) = \frac{1}{2} - \frac{m}{k}$

für natürliche Zahlen 0 < m < k. Dabei ist ζ(s,q) die Hurwitzsche ζ-Funktion und B_n(x) eine Bernoulli-Zahl. Ein Spezialfall des Multiplikationstheorem ist

$\sum_{n=1}^k \psi \left(\frac{n}{k}\right) =-k(\gamma+\log k).$

Gaußsches Digamma-Theorem

Für ganze Zahlen m und k (mit m < k), kann die Digammafunktion mit elementaren Funktionen ausgedrückt werden

$\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right).$

Besondere Werte

Die Digamma-Funktion hat folgende besondere Werte:

$\psi\,(1) = -\gamma\,\!$

$\psi\left(\tfrac12\right) = -2\ln2 - \gamma$

$\psi\left(\tfrac13\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\tfrac32\ln3 - \gamma$

$\psi\left(\tfrac14\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln2 - \gamma$

$\psi\left(\tfrac16\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln2 -\tfrac32\ln3 - \gamma$

Ableitung

Die Ableitung der Digammafunktion ist nach deren Definition die Trigamma-Funktion

$\psi_1(x)=\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\log\Gamma(x),$

die zweite Polygammafunktion.

Literatur

• Milton Abramowitz und Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. Siehe §6.3

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Digamma Function auf MathWorld (englisch)