- Homomorphiesatz
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Der Homomorphiesatz ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Algebra, der in entsprechender Form für Abbildungen zwischen Gruppen, Vektorräumen und Ringen gilt. Er stellt jeweils einen engen Zusammenhang zwischen Gruppenhomomorphismen und Normalteilern, Vektorraumhomomorphismen und Untervektorräumen sowie Ringhomomorphismen und Idealen her. Der Homomorphiesatz lautet:
- Ist
ein Homomorphismus und ker(f) der Kern von f, dann ist der Quotient A / ker(f) isomorph zum Bild f(A).
Inhaltsverzeichnis
Gruppe
Aussage
Ist
ein Gruppenhomomorphismus, dann ist der Kern
ein Normalteiler von G und die Faktorgruppe G / N ist isomorph zum Bild
. Ein entsprechender Isomorphismus ist gegeben durch
.
Beweis
Der Beweis läuft darauf hinaus, zu zeigen, dass
ein Gruppenisomorphismus ist. Sind
zwei Repräsentationen derselben Nebenklasse, dann gibt es Elemente
mit
. Da h und h' Elemente des Kerns N sind, gilt
. Daraus folgt, dass
und
somit wohldefiniert ist.
Die Abbildung
ist ein Gruppenhomomorphismus, da für alle Nebenklassen aN und bN von N die Gleichung
gilt.
ist zudem injektiv, da
und N das neutrale Element der Faktorgruppe G / N ist.
Ferner ist
surjektiv, da für jedes
gilt:
.
Hieraus folgt, dass
ein Gruppenisomorphismus ist, und somit
.
Beispiele
- Es stehe
für die allgemeine lineare Gruppe, dargestellt durch reguläre Matrizen über einem Körper K. Die Determinante
-
- ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Kern aus der speziellen linearen Gruppe
der
-Matrizen mit Determinante 1 besteht. Nach dem Homomorphiesatz gilt
.
- Hieraus folgt insbesondere, dass im Gegensatz zur linearen Gruppe
die Faktorgruppe
abelsch ist.
- Analog zeigt man:
-
- wobei
für die orthogonale Gruppe und
für die spezielle orthogonale Gruppe steht.
- Es stehe Sn für die symmetrische Gruppe. Die Signum-Abbildung
definiert einen Gruppenhomomorphismus mit
(alternierende Gruppe). Nach dem Homomorphiesatz gilt also:
Vektorraum
Ist f ein Vektorraumhomomorphismus, d. h. eine lineare Abbildung von V nach W, dann ist der Kern ker(f) ein Untervektorraum von V und der Faktorraum V / ker(f) ist isomorph zum Bild
.
Ring
Ist
ein Ringhomomorphismus, dann ist der Kern ker(f) ein Ideal von R und der Faktorring R / ker(f) ist isomorph zum Bild
.
Der Beweis verläuft analog zum Beweis für Gruppen, es muss nur noch gezeigt werden:
Verallgemeinerungen
- Der Satz gilt allgemein in jeder abelschen Kategorie.
- Der Satz gilt beispielsweise auch in der Kategorie der topologischen Gruppen; allerdings ist das Bild dann auch im kategoriellen Sinne zu verstehen, es handelt sich also im allgemeinen nicht um das mengentheoretische Bild mit der induzierten Topologie. Auch ist ein bijektiver stetiger Homomorphismus nur dann ein kategorieller Isomorphismus, wenn auch seine Umkehrung stetig ist, d. h. wenn er auch ein Homöomorphismus ist.
Literatur
- Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 54, S.167-168
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