Faser (Mathematik)

In der Mathematik ist das Urbild ein Begriff im Zusammenhang mit Funktionen. Das Urbild einer Menge M unter einer Funktion f ist die Menge der Elemente, die in f eingesetzt, ein Element aus M ergeben. Ist also y aus M und f(x) = y, dann ist x Element des Urbildes von M unter f. Speziell besteht das Urbild eines Elements y der Zielmenge aus allen Elementen des Definitionsbereichs, die durch f auf y abgebildet werden. Damit ist das Urbild eine Teilmenge des Definitionsbereichs.

Definition

Sei $f\colon A \to B$ eine Funktion und M eine Teilmenge von B. Dann bezeichnet man folgende Menge als das Urbild von M unter f:

$f^{-1}(M) := \{ x \in A : f(x) \in M\}$

Das Urbild einer einelementigen Menge M = {b}schreibt man auch als

$f^{-1}(b) := \{ x \in A : f(x) = b\}$

und nennt es das Urbild von b unter f, muss aber beachten, dass dies eine Menge ist, die auch leer sein oder mehrere Elemente enthalten kann.

Das Urbild eines Elements wird zuweilen auch Faser dieses Elements genannt, insbesondere im Zusammenhang mit Faserbündeln.

Beispiele

Für die Funktion $f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ (ganze Zahlen) mit $f(x)\ := x^2$ gilt:

$f^{-1}(4) = \{ 2, -2 \}\$

$f^{-1}(0) = \{ 0 \}\$

$f^{-1}(3) = \emptyset$

$f^{-1}(-1) = \emptyset$

$f^{-1}(\{1,2,3,4\}) = \{-2, -1, 1, 2 \}\$

Eigenschaften

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

• Für eine bijektive Funktion $f\colon A \to B$ ist das Urbild eines Elements stets einelementig. Die Abbildung, die jedem Element von B sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuordnet, ist die Umkehrfunktion f ^{− 1} von f.
• Für eine injektive Funktion ist das Urbild eines Elements stets einelementig oder leer.
• Für eine surjektive Funktion ist das Urbild eines Elements stets nichtleer.

Mengenoperationen und -eigenschaften

Es sei $f\colon A \to B$ eine Funktion und M und N seien Teilmengen von B :

• $f^{-1}(\emptyset) = \emptyset$
• $f^{-1}(B) = A\$
• $f^{-1}(M \cup N) = f^{-1}(M) \cup f^{-1}(N)$
• $f^{-1}(M \cap N) = f^{-1}(M) \cap f^{-1}(N)\!\,$
• $f^{-1}(M^{\rm c}) = (f^{-1}(M))^{\rm c}\$
• $M \subseteq N \Rightarrow f^{-1}(M) \subseteq f^{-1}(N)$

Dabei bezeichnet $X^{\rm c}\!\,$ das Komplement von X in der jeweiligen Grundmenge.

Die Aussagen über Vereinigung und Durchschnitt lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern.

Bild und Urbild

Es sei $f\colon A \to B$ eine Funktion, M eine Teilmenge von A und N eine Teilmenge von B :

• $f^{-1}(f(M)) \supseteq M$
  Ist f injektiv, dann gilt die Gleichheit.
• $f(f^{-1}(N)) \subseteq N$
  Ist N im Bild von f enthalten, dann gilt die Gleichheit. Insbesondere gilt sie also, wenn f surjektiv ist.

Siehe auch

• Umkehrfunktion
• Bild (Mathematik)
• Kern (Mathematik)
• Homomorphiesatz