Zellulare Automaten

Zelluläre oder auch zellulare Automaten dienen der Modellierung räumlich diskreter dynamischer Systeme, wobei die Entwicklung einzelner Zellen zum Zeitpunkt t+1 primär von den Zellzuständen in einer vorgegebenen Nachbarschaft und vom eigenen Zustand zum Zeitpunkt t abhängt.

Beschreibung

Ein Zellularautomat ist durch folgende Größen festgelegt:

• ein Raum R (Zellularraum)
• eine endliche Nachbarschaft N
• eine Zustandsmenge Q
• eine lokale Überführungsfunktion $\delta:Q^N \to Q$

Der Zellularraum besitzt eine gewisse Dimensionalität, er ist in der Regel 1- oder 2-dimensional, kann aber durchaus auch höherdimensional sein. Man beschreibt das Aussehen eines Zellularautomaten durch eine globale Konfiguration, welche eine Abbildung aus dem Zellularraum in die Zustandsmenge ist, das heißt man ordnet jeder Zelle des Automaten einen Zustand zu. Der Übergang einer Zelle von einem Zustand (lokale Konfiguration) in den nächsten wird durch Zustandsübergangsregeln definiert, die deterministisch oder stochastisch sein können. Die Zustandsübergänge erfolgen für alle Zellen nach derselben Überführungsfunktion und gleichzeitig. Die Zellzustände können wie die Zeitschritte diskret sein. In der Regel ist die Anzahl der möglichen Zustände klein: Nur wenige Zustandswerte reichen zur Simulation selbst hochkomplexer Systeme aus.

Man unterscheidet zwei verschiedene Nachbarschaften (auch Nachbarschaftsindex genannt):

• Moore-Nachbarschaft
• Von-Neumann-Nachbarschaft

Geschichte der Zellularautomaten

Zellularautomaten wurden um 1940 von Stanislaw Ulam in Los Alamos vorgestellt. John von Neumann, ein damaliger Kollege Ulams, griff die Idee auf und erweiterte sie zu einem universellen Berechnungsmodell. Er stellte einen Zellularautomaten mit 29 Zuständen vor, der ein gegebenes Muster immer wieder selbst reproduzieren konnte. Er beschrieb damit als erster einen Zellularautomaten, der berechnungs- und konstruktionsuniversell ist.

Bis zu den 1960er Jahren waren die Analogrechner den Digitalrechnern bei einigen Fragestellungen überlegen. Ein analoger Zellulärer Automat zur Simulation von Grundwasserströmungen wird im Artikel Analogrechner genauer beschrieben.

In den 1970er Jahren erlangte John Horton Conways Game of Life Berühmtheit. Es besteht aus einem 2-dimensionalen Raum, auf dem die Moore-Nachbarschaft definiert wurde. Jede Zelle kann einen von zwei Zuständen annehmen Q = {0,1}, die man als tot oder lebendig interpretieren kann. Dann gilt folgende Überführungsfunktion:

$\delta(l) = \begin{cases} 0 & \mbox{ falls } \sum\limits_{n \in N} l(n) \leq 2, \\ 1 & \mbox{ falls } \sum\limits_{n \in N} l(n) = 3, \\ l(0) & \mbox{ falls } \sum\limits_{n \in N} l(n) = 4, \\ 0 & \mbox{ falls } \sum\limits_{n \in N} l(n) \geq 5. \\ \end{cases}$

1969 veröffentlichte Konrad Zuse sein Buch "Rechnender Raum", worin er annimmt, dass die Naturgesetze diskreten Regeln folgen und das gesamte Universum das Ergebnis eines gigantischen Zellularautomaten sei.

1983 veröffentlichte Stephen Wolfram eine Reihe von grundlegenden Arbeiten zu Zellularautomaten.

Wolframs 1-dimensionales Universum

Wolframs 1-dimensionales Universum

Stephen Wolframs zellulärer Automat ist ein besonders schönes und einfaches Modell-Universum. Es besteht aus nur einer Raum- und einer Zeitdimension. Im Bild ist die Raumdimension waagrecht eingezeichnet und die Zeitdimension verläuft senkrecht nach unten. (Das Bild enthält drei verschiedene Bildausschnitte.) Die Raumdimension ist endlich, aber ohne Enden, denn ihr rechtes und linkes Ende sind topologisch miteinander verbunden.

Die Raum-Zeit-Elemente dieses Universums können nur leer oder voll sein. Beim „Urknall“ (in den obersten Bildzeilen) werden diese Raum-Zeit-Elemente mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit gefüllt. Es gibt nur ein Naturgesetz, das eine Nahwirkung darstellt. Der Nahbereich umfasst die linken zwei Nachbarn eines Raum-Zeit-Elements, das Raum-Zeit-Element selbst, und die rechten zwei Nachbarn des Raum-Zeit-Elements. Wenn zwei oder vier Raum-Zeit-Elemente im Nahbereich voll sind, dann ist im nächsten Zeitintervall dieses Raum-Zeit-Element auch voll, ansonsten ist es im nächsten Zeitintervall leer. Es existieren keine weiteren Regeln.

Obwohl es im Gegensatz zu Computer-Spielen keine Fernwirkung und keinerlei Kontrollinstanz gibt, entwickelt sich dieses Modell-Universum zu verblüffender Komplexität. Nach dem Urknall findet eine Eliminationsphase statt, so wie im echten Universum auch. Danach entstehen kurzlebige, aber geordnete Strukturen, die irgendwann erlöschen. Einige der geordneten Strukturen sind aber langzeitstabil, manche davon oszillieren, andere davon sind in der Zeit formstabil. Sowohl von den oszillierenden als auch von den formstabilen Strukturen existieren sowohl ortsfeste als auch bewegliche Arten. Die maximale Austauschgeschwindigkeit dieses Universums kann nur zwei Raumeinheiten je Zeiteinheit betragen. Wenn zwischen den stabilen bewegten Objekten Kollisionen stattfinden, dann setzt wieder Chaos ein, und eine weitere Eliminationsphase findet statt.

Vereinfacht man noch weiter und berücksichtigt neben dem Zustand des Elementes selbst nur jeweils das rechte und das linke Nachbarelement, gibt es genau 8 Regelelemente. Ein Beispiel dazu steht weiter unten. Insgesamt gibt es 256 solcher Regeln. Selbst unter diesen noch einfacheren Regeln zeigen einige eine erstaunliche Komplexität. Die interessanteste ist die „Regel 110“:

Regel 110

neuer Zustand der Zelle	0	1	1	0	1	1	1	0
momentaner Zustand	111	110	101	100	011	010	001	000

Die ersten 200 Entwicklungsschritte (von unten nach oben) von Regel 110, wenn zu Beginn nur eine Zelle voll ist und alle anderen leer sind.

Die ersten 3200 Entwicklungsschritte von Regel 110. Gezeigt ist nur die linke Seite.

Zelluläre Automaten programmieren

Dieses kurze Skript, geschrieben in der Programmiersprache Python, kann alle 256 eindimensionalen zellulären Automaten simulieren und erzeugt als Ausgabe ein Bild im Grafikformat Portable Graymap (.pgm). Beim Aufruf muss die gewünschte Regelnummer, 0 bis 255 eingegeben werden.

import sys

if len(sys.argv) != 2 or int(sys.argv[1]) not in range(0,256):
    sys.exit()

w = 999
r = s = [0] * w
r[w/2] = 1
z = ""
d = 0

for j in range(0,w/2):
    n = (r[0] << 1) + r[1]
    o = ""
    for i in range(1,w):
        o += " 0 " if r[i]==1 else "15 "
    z = z + o + "\n"
    for i in range(2,w):
        n = (n << 1) + r[i]
        if n >= 8: n-=8
        s[i-1] = (int(sys.argv[1]) >> n)%2
    r = s
    d += 1

print "P2"
print str(w-1) + " " + str(d)
print "15"
print z

Beispiele für zelluläre Automaten

• Conways Spiel des Lebens (Game of Life) ist ein einfacher zweidimensionaler zellulärer Automat, der verblüffende Strukturen erzeugt.
• Langton-Schleifen simulieren zur Selbstreplikation fähige Organismen in einem zellulären Automaten.
• Das Pascalsche Dreieck kann ebenfalls als einfacher zellulärer Automat interpretiert werden.
• Das Nagel-Schreckenberg-Modell ist ein Zellularautomat zur Simulation des Straßenverkehrs insbesondere auf Autobahnen.
• Das FHP-Modell dient der Simulation von Gasen und Flüssigkeiten.
• Ein sehr einfacher Zellulärer Automat ist der ASEP.

Siehe auch

• Ameise (Turingmaschine)
• Chaos (Mathematik)
• Emergenz
• Evakuierungssimulation
• Musterbildung
• Ordnung
• Räuber-Beute-Modell
• Turingmaschine
• Wator
• Wireworld

Weblinks

• http://www.ca.kaifranz.de 2.5d zellulärer Automat / 3d game of life - documentation, application and open source
• http://www.entwurfsforschung.de/RaumProzesse/Grundlagen.htm
• Applet eines Greenberg-Hastings-Automaten
• Applet eines Zyklischen Zellulären Automaten
• Zellomat3D: einer der wenigen 3D zellulären Automaten
• Agenten-basierte Modellierungs- und Simulationsumgebung
• Konverter von Turing-Maschine zur Regel 110
• Webseite von Jürgen Schmidhuber über Konrad Zuses Theorie des Rechnenden Raumes (Auszug aus Elektronische Datenverarbeitung 8 (1967) S. 336-344)
• Random Design Zufallserzeugte zelluläre Automaten