Bettizahl

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie sind die Bettizahlen eine Folge nichtnegativer ganzer Zahlen, die globale Eigenschaften eines topologischen Raumes beschreiben. Von Henri Poincaré wurde gezeigt, dass sie topologische Invarianten sind. Dieser benannte die Zahlen nach dem Mathematiker Enrico Betti, da sie eine Verallgemeinerung der von E. Betti eingeführten Flächenzahlen sind.

Definition

Es sei X ein topologischer Raum. Dann ist die i-te Bettizahl von X

$b_i(X) = \dim_{\mathbb Q}H_i(X,\mathbb Q)$ für $i=0,1,2,\ldots$

Dabei bezeichnet $H_i(X,\mathbb Q)$ die i-te singuläre Homologiegruppe mit Koeffizienten in den rationalen Zahlen.

Anschauung

Der Torus

Obwohl die Definition der Bettizahlen sehr abstrakt ist, steckt hinter dieser eine Anschauung. Die Bettizahlen geben an, wie viele k-dimensionale nicht zusammenhängende Flächen der entsprechende topologische Raum hat. Die ersten drei Bettizahlen besagen anschaulich also:

• b₀ ist die Anzahl der Wegzusammenhangskomponenten.
• b₁ ist die Anzahl der „zweidimensionalen Löcher“.
• b₂ ist die Anzahl der dreidimensionalen Hohlräume.

Der rechts abgebildete Torus (gemeint ist Oberfläche) besteht aus einer Zusammenhangskomponente, hat zwei „zweidimensionale Löcher“, zum einen das in der Mitte, zum andern das im Inneren des Torus, und hat einen dreidimensionalen Hohlraum. Die Bettizahlen des Torus sind daher 1, 2, 1, die weiteren Bettizahlen sind null.

Ist der zu betrachtende topologische Raum jedoch keine orientierbare kompakte Mannigfaltigkeit, so versagt diese Anschauung allerdings schon.

Eigenschaften

• b₀(X) ist die Anzahl der Wegzusammenhangskomponenten von X.^[1]
• b₁(X) ist der Rang der abelisierten Fundamentalgruppe von X.
• Für eine orientierbare geschlossene Fläche vom Geschlecht g ist b₀ = 1, b₁ = 2g, b₂ = 1.
• Allgemein gilt für jede n-dimensionale orientierbare geschlossene Mannigfaltigkeit die Poincaré-Dualität:

b_k = b_{n − k}.

• Für jede n-dimensionale Mannigfaltigkeit X gilt b_k = 0 für k > n.
• Für zwei topologische Räume X und Y gilt
  $b_n(X\times Y)=\sum_{\lambda+\mu=n}b_\lambda(X)b_\mu(Y).$
  Das ist eine direkte Folgerung aus dem Satz von Künneth.

Beispiele

• Die Bettizahlen der n-Sphäre sind

$b_k(S^n)=\begin{cases}1&\mathrm{f\ddot ur}\ k=0\ \mathrm{und}\ k=n\\0&\mathrm{sonst}\end{cases}$

• Die Bettizahlen der reellen projektiven Ebene sind $1,0,0,0,\ldots$, genau wie die eines einzelnen Punktes und jeder konvexen Menge im $\mathbb R^n$. Zwei sehr verschiedene Räume können also in allen Bettizahlen übereinstimmen.

Verwandte Begriffe

Die Euler-Charakteristik ist die alternierende Summe der Bettizahlen, d.h.

$\begin{align} \chi(X) &= b_0(X) - b_1(X) + b_2(X) \mp\cdots \\ &= \sum_{i=0,1,\dots}^{} (-1)^i b_i(X) \end{align}$

Literatur

• Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.
• M.I. Voitsekhovskii: Betti number. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.

Einzelnachweise

1. ↑ Hatcher, Algebraic Topology, http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Proposition 2.7

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Betti Number. In: MathWorld. (englisch)