Biegewelle

Eine Biegewelle ist eine physikalische Welle, die sich innerhalb eines biegsamen Mediums fortbewegt und senkrecht zur Ausbreitungsrichtung schwingt. Durch die Schwingung krümmt sich das Medium. Dadurch muss die Schwingung in Richtung des Krümmungskreises begrenzt sein, zum Beispiel durch Begrenzung des Mediums. Eine Biegewelle breitet sich daher nur ein- oder zweidimensional aus.

Ebene Biegewelle

Wellengleichung

Die Wellengleichung einer Biegewelle auf einer Platte lautet in erster Näherung nach Euler-Bernoulli-Theorie

$\frac{\partial^2 z}{\partial t^2} + \frac{E h^2}{12 \rho (1-\mu^2)} \nabla ^ 4 z = 0$

Für eine Dimension (Ortsvariable x) ergibt sich mit dem harmonischen Lösungsansatz

$z = z_0 e^{i(\omega t + k x)}\!\,$

die Dispersionsrelation

$k^2 = \frac{\sqrt{12}}{h} \sqrt{\frac{ \rho (1-\mu^2)}{E}} \cdot \omega$

Dabei ist $\omega=2\pi \cdot f$ die Kreisfrequenz. Die Phasengeschwindigkeit c ist damit stark von der Frequenz f (und damit auch von ω) abhängig:

$c=\frac{\omega}{k}=\sqrt{\omega} \sqrt[4\,]{\frac{h^2 E}{ 12 \rho (1-\mu^2)} }$

Dabei ist E der Elastizitätsmodul, ρ die Massendichte, h die Höhe der Platte und μ die Poissonzahl.

Die entsprechende Gleichung für eine Biegewelle auf einem Balken lautet

$\frac{\partial^2 z}{\partial t^2} + \frac{E I}{\rho A} \frac{\partial^4 z}{\partial x^4} = 0$

mit den zusätzlichen Bezeichnungen I für das Flächenträgheitsmoment des Balkenquerschnitts A. Diese führt auf die Dispersionsrelation

$k^2 = \sqrt{\frac{ \rho A}{E I}} \cdot \omega$

und die Phasengeschwindigkeit

$c = \sqrt{\omega} \sqrt[4\,]{\frac{E I}{ \rho A} }$.

In beiden Fällen ist die Gruppengeschwindigkeit $c_g = \frac{d\omega}{dk}$ gerade doppelt so groß wie die Phasengeschwindigkeit c.

Beispiele

Bekannte Anwendungsfälle sind die Triangel oder eine Glocke.

Weblinks

• Körperschall
• Physik der Musikinstrumente