Dispersionsrelation

In der Physik beschreibt die Dispersionsrelation den Zusammenhang zwischen dem Ablauf eines physikalischen Prozesses (Frequenz, Energie) und den Eigenschaften der ihn beschreibenden Größen (Wellenzahl, Brechzahl, Ausbreitungsgeschwindigkeit, Impuls). Mathematisch ist die Dispersionsrelation die Beziehung zwischen der Kreisfrequenz ω und der Kreiswellenzahl k. Sie wird aus der linearen Wellengleichung durch eine Fouriertransformation in Raum und Zeit gewonnen und hat die Form

$\omega = f(k)\,\!$.

Im einfachsten Fall sind Kreisfrequenz und Kreiswellenzahl stets proportional

$\omega = v_{\rm phase} \cdot k$,

mit der konstanten Phasengeschwindigkeit v_phase. In diesem Fall gibt es keine Dispersion.

Die Geschwindigkeit eines Wellenpakets ist dagegen die Gruppengeschwindigkeit $v_{\rm gruppe}=d\omega/dk \!\,$. Ein Wellenpaket besteht aus Wellen verschiedener Frequenzen, die unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten haben können. Daher läuft ein Wellenpaket i. A. auseinander. Wellenpakete, die aufgrund nichtlinearer Effekte trotz Dispersion nicht auseinander laufen, werden als Solitonen bezeichnet.

Optik

In der Dispersionsrelation der Optik taucht die (komplexe) Brechzahl $n \!\,$ als Funktion der Kreisfrequenz auf:

$k = \frac{\omega}{v_{\rm phase}} = n(\omega) \frac{\omega}{c_0} = \frac{\omega}{c_M}$

mit $c_0 \!\,$ der Vakuumlichtgeschwindigkeit
und $c_M \!\,$ der Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht in einem Medium.

Teilchenphysik

Da die Frequenz immer in Zusammenhang mit der Energie und die Wellenzahl (bzw. der Wellenvektor) stets mit dem Impuls in Verbindung steht, bezeichnet man die Energie-Impuls-Beziehungen der Teilchenphysik auch als Dispersionsrelation (oder Dispersionsbeziehung), z. B. bei freien Elektronen

$\hbar \omega= E = \frac{p^2}{2m} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$,

wobei $\hbar$ das reduzierte plancksche Wirkungsquantum ist.

Festkörperphysik

In der Festkörperphysik wird die Dispersion als Zusammenhang zwischen Wellenzahl und Energie eines Teilchens oder Quasiteilchens angegeben. Die Energie ist über $E = \hbar \omega$ direkt mit der Kreisfrequenz verknüpft. In Festkörpern wird dabei einerseits den Phononen (Gitterschwingungen des Atomgitters) eine Phononen-Dispersionsrelation zugeordnet, andererseits kann den Elektronen eine Elektronen-Dispersionsrelation zugeordnet werden, die mit Hilfe der Bandstruktur beschrieben wird.