Wirtinger-Kalkül

Wilhelm Wirtinger

Bei dem Wirtinger-Kalkül, und seiner Verallgemeinerung durch die Dolbeault-Operatoren, handelt es sich um einen mathematischen Kalkül aus der Funktionentheorie. Der Wirtinger-Kalkül ist nach dem Mathematiker Wilhelm Wirtinger und die Dolbeault-Operatoren sind nach Pierre Dolbeault benannt. Mit Hilfe dieser Objekte kann die Darstellung komplexer Ableitungen übersichtlicher gestaltet werden. Außerdem finden die Dolbeault-Operatoren Anwendung in der Theorie der quasikonformen Abbildungen.

Wirtinger-Kalkül

Einleitung

Eine komplexe Zahl $z \in \C$ wird durch z: = x + iy in zwei reelle Zahlen zerlegt. Sei $G \subset \C$ ein Gebiet und $f = u + i v : G \to \C$ eine (reell) differenzierbare Funktion. Dann existieren die partiellen Ableitungen

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x}$

und

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial y} + i \frac{\partial v}{\partial y}$.

Im nächsten Abschnitt werden nun die Wirtinger-Ableitungen eingeführt, welche ebenfalls partielle Differentialoperatoren sind. Jedoch sind diese einfacher zu berechnen, da die komplexwertige Funktion nicht in Real- und Imaginärteil zerlegt werden muss. Statt der Koordinaten x und y verwendet man z = x + iy und $\bar z = x - i y$.

Motivation und Definition

Mit Hilfe der partiellen Ableitungen schreibt sich das (totale) Differential von f als

$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$.

Aus z = x + iy und $\bar z = x - i y$ ergibt sich

$\textstyle x = \frac12 (z + \bar z)$ und $\textstyle y = \frac1{2i} (z - \bar z) = \frac i{2} (\bar z - z)$.

Für die Differentiale erhält man daraus

$\textstyle dx = \frac12(dz + d\bar z)$ und $\textstyle dy = \frac i{2}(d\bar z -dz)$.

Einsetzen in das totale Differenzial und Umsortieren liefert

$df = \frac12\left(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y}\right) dz + \frac12\left(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}\right) d\bar z$.

Um (formal) die Beziehung

$df = \frac{\partial f}{\partial z} dz + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} d\bar z$

zu erhalten, setzt man

$\frac{\partial f}{\partial z}:= \frac12\left(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y}\right)$

und

$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}:= \frac12\left(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}\right)$.

Dies sind die Wirtinger-Ableitungen.

Für $\textstyle\frac{\partial f}{\partial z}$ schreibt man auch kurz $\,\partial f$, für $\textstyle\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}$ schreibt man $\bar \partial f$. Der Operator $\overline{\partial}$ heißt Cauchy-Riemann-Operator.

Holomorphe Funktionen

Der Wirtinger-Kalkül findet insbesondere in der Funktionentheorie Anwendung, da für holomorphe Funktionen die Notation sich auf ein Minimum reduziert. Außerdem ist dieser Kalkül sehr stabil, wie Eigenschaften 3 und 4 im nächsten Abschnitt zeigen.

Eine reell differenzierbare Funktion ist genau dann eine holomorphe Funktion, wenn $\overline{\partial} f = 0$ gilt. In diesem Fall ist $\partial f$ die Ableitung von f. Dies gilt, da die Gleichung $\overline{\partial} f = 0$ eine sehr kurze Darstellung der Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen ist. Aus diesem Grund trägt der Operator $\overline{\partial}$ den Namen Cauchy-Riemann-Operator.

Gilt hingegen für eine reell differenzierbare Funktion f die Gleichung $\partial f = 0$ so nennt man diese Funktion antiholomorph und das reelle Differential kann mit Hilfe von Eigenschaft 1 aus $\overline{\partial} f$ berechnet werden.

Weitere Eigenschaften

1. Es gelten die Gleichungen
   $\frac{\partial f}{\partial x} = \partial f + \overline{\partial} f$
   und
   $\frac{\partial f}{\partial y} = i\left(\partial f - \overline{\partial} f\right).$
2. Die Operatoren $\partial$ und $\overline{\partial}$ sind $\C$-linear, das heißt für $a,b \in \C$ und reell differenzierbare Funktionen $f, g : G \to \C$ gilt
   $\partial (af + b g) = a \partial f + b \partial g$
   und
   $\overline{\partial} (af + b g) = a \overline{\partial} f + b \overline{\partial} g.$
3. Für jede reell differenzierbare Funktion f gilt
   $\overline{\partial} f = \overline{\partial\overline{f}}$
   und
   $\overline{\partial}\ \overline{f} = \overline{\partial f}.$
4. Für die Wirtinger-Ableitungen gilt die Kettenregel
   $\frac{\partial (g \circ f)}{\partial z}(z_0) = \frac{\partial g}{\partial f(z)}(f(z_0)) \cdot \frac{\partial f}{\partial z}(z_0) + \frac{\partial g}{\partial \overline{f(z)}}(f(z_0)) \cdot \frac{\partial \overline{f}}{\partial z}(z_0)$
   und
   $\frac{\partial (g \circ f)}{\partial \overline{z}}(z_0) = \frac{\partial g}{\partial f(z)}(f(z_0)) \cdot \frac{\partial f}{\partial \overline{z}}(z_0) + \frac{\partial g}{\partial \overline{f(z)}}(f(z_0)) \cdot \frac{\partial \overline{f}}{\partial \overline{z}}(z_0).$
5. Mit den Wirtinger-Ableitungen kann man den Laplace-Operator durch
   $\Delta f = 4 \partial \overline{\partial} f = 4 \overline{\partial} \partial f$
   darstellen.
6. Die Fundamentallösung des Cauchy-Riemann-Operators $\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}}$ ist $\textstyle \frac{1}{\pi z}$, das heißt die durch die Funktion $\textstyle u(z) = \frac{1}{\pi z}$ erzeugte Distribution löst die Gleichung $\textstyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}} u(z) = \delta$, wobei δ die Delta-Distribution ist. Eine Herleitung ist im Artikel Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen zu finden.

Dolbeault-Operator

Mit Hilfe des Wirtinger-Kalküls kann man auch mehrdimensionale Abbildungen untersuchen. Wie oben werden Elemente von $\C^n$ zerlegt in $(z_1, \ldots z_n) = (x_1 + iy_1, \ldots , x_n + i y_n)$. Sei nun $D \subset \mathbb{C}^n$ eine offene Teilmenge und $f = (f_1, \ldots , f_m): D \rightarrow \mathbb{C}^m$ eine (reell) differenzierbare Abbildung. Dazu definiert man die dem Wirtinger-Kalkül ähnlichen partiellen Differentialoperatoren

$\frac{\partial}{\partial z_j} := \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_j} - i \frac{\partial}{\partial y_j} \right)\quad j = 1, \ldots , n$

und

$\frac{\partial}{\partial\bar z_j} := \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_j} + i \frac{\partial}{\partial y_j} \right)\quad j = 1, \ldots , n$

auf $\C^n$. Mit Hilfe dieser partiellen Differentialoperatoren kann man den Dolbeault-Operator und den Dolbeault-Quer-Operator durch

$\partial f := \sum_{j=1}^n \frac{\partial}{\partial z_j} f {\rm d} z_j$

und

$\overline{\partial} f := \sum_{j=1}^n \frac{\partial}{\partial \overline{z}_j} f {\rm d} \overline{z}_j\$

definieren. Diese können als mehrdimensionale Wirtinger-Ableitungen verstanden werden und werden deshalb genauso notiert. Außerdem haben die Dolbeault-Operatoren ähnliche Eigenschaften wie die Wirtinger-Ableitungen. Insbesondere gilt auch, dass f genau dann holomorph ist, wenn $\overline{\partial{f}} = 0$ gilt und die reelle Ableitung wird durch

$\frac{{\rm d}}{{\rm d}z} f = \overline{\partial} f + \partial f$

dargestellt. (Im komplexen Fall gilt $\textstyle \frac{{\rm d}}{{\rm d}z} f = \partial f$, da ja $\overline{\partial} f = 0$ gilt.)

Dolbeault-Operatoren auf Mannigfaltigkeiten

→ Hauptartikel: Komplexe Differentialform

Der Dolbeault-Operator und der Dolbeault-Quer-Operator lassen sich auch auf komplexen Mannigfaltigkeiten definieren, jedoch muss dafür erst der Kalkül der komplexen Differentialformen definiert werden. Mit Hilfe des Dolbeault-Quer-Operators kann man analog wie im vorigen Abschnitt holomorphe Differentialformen definieren. Eine der wichtigsten Anwendungen dieser Operatoren ist in der Hodge-Theorie insbesondere in der Dolbeault-Kohomologie, welche das komplexe Analogon zur De-Rham-Kohomologie ist, zu finden.

Literatur

• Ingo Lieb & Wolfgang Fischer: Funktionentheorie: Komplexe Analysis in einer Veränderlichen , Vieweg & Teubner, 2005, ISBN 978-3-8348-0013-8
• Ingo Lieb: The Cauchy-Riemann Complex, Vieweg Aspects of Mathematics, 2002, ISBN 978-3-528-06954-4