Frobenius-Methode

Die Frobenius-Methode, nach Ferdinand Georg Frobenius, ist eine Methode um Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichung

u'' + p(z)u' + q(z)u = 0

zu finden, wobei (z − z₀)p(z) und (z − z₀)²q(z) als analytisch in einer Umgebung von z = z₀ vorausgesetzt werden. Die Idee ist es Lösungen in der Form einer verallgemeinerten Potenzreihe

$u(z) = (z-z_0)^\alpha \sum_{n=0}^\infty u_n (z-z_0)^n$

anzusetzen und die unbekannten Koeffizienten α,u_n durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen. Der zentrale Satz wurde zuerst von Lazarus Immanuel Fuchs basierend auf Arbeiten von Karl Weierstraß bewiesen^[1] und danach von Frobenius verallgemeinert^[2].

Satz von Fuchs

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir z₀ = 0 setzten. Gegeben sei die Differentialgleichung

u'' + p(z)u' + q(z)u = 0

wobei p(z) bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und q(z) bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung hat. Sie können also in der Form

$p(z) = \frac{1}{z} \sum_{n=0}^\infty p_n z^n, \qquad q(z) = \frac{1}{z^2} \sum_{n=0}^\infty q_n z^n$

geschrieben werden, wobei die Reihen in einer Umgebung von 0 konvergieren.

Die charakteristischen Exponenten

$\alpha_{1,2} = \frac{1}{2} \left( 1-p_0 \pm \sqrt{(p_0-1)^2 - 4q_0} \right)$

sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung

α² + (p₀ − 1)α + q₀ = 0

und wir können sie gemäß $\mathrm{Re}(\alpha_1 ) \geq \mathrm{Re}(\alpha_2 )$ ordnen.

Dann gilt folgende Fallunterscheidung:

• Ist α₁ − α₂ keine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form

$u_j(z) = z^{\alpha_j} \sum_{n=0}^\infty u_{j,n} z^n, \qquad u_{j,0}=1, \quad j=1,2.$

• Ist α₁ − α₂ eine ganze Zahl, so existieren zwei Lösungen der Form

$u_1(z) = z^{\alpha_1} \sum_{n=0}^\infty u_{1,n} z^n, \qquad u_2(z) = z^{\alpha_2} \sum_{n=0}^\infty u_{2,n} z^n + c \log(z) u_1(z), \qquad u_{j,0}=1.$

Der Konvergenzradius entspricht dem Minimum des Konvergenzradius der Reihen für p(z) und q(z).

Auch die Umkehrung gilt: Gibt es zwei Lösungen der obigen Form, so hat p(z) bei 0 einen Pol maximal erster Ordnung und q(z) bei 0 einen Pol maximal zweiter Ordnung.

Eine Differentialgleichung mit meromorphen Koeffizienten, für die alle Singularitäten (inklusive $\infty$) vom obigen Typ sind, wird als Fuchssche Differentialgleichung bezeichnet.

Verallgemeinerungen

Der Satz von Fuchs kann auf Differentialgleichungen höherer Ordnung und auf Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung verallgemeinert werden.

Beispiele

Einige Beispiele die mit der Methode von Frobenius gelöst werden können:

• Bessel'sche Differentialgleichung
• Legendre'sche Differentialgleichung
• Laguerre'sche Differentialgleichung
• hypergeometrische Differentialgleichung

Literatur

• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, Providence 2011 (freie Onlineversion).
• Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7 Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67642-2.

Referenzen

1. ↑ L. Fuchs: Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 66 (1866) S. 121.
2. ↑ G. Frobenius: Ueber die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 76 (1873), S. 214.