Hypergeometrische Differentialgleichung

Die hypergeometrische Differentialgleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form

$x(x - 1)y'' + \left((\alpha + \beta + 1)x - \gamma\right)y' + \alpha\beta y = 0,\ \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}\ .$

Ist $-\gamma \notin \mathbb{N}_{0}$, so erhält man mit einem Potenzreihenansatz $y(x) = \sum^{\infty}_{n=0} a_{n}x^{n}$ die Rekursionsformel für die Lösung:

$a_{n+1}=\frac{(\alpha + n)(\beta + n)}{(1 + n)(\gamma + n)}a_{n}$

Setzt man beispielsweise a₀ = 1, so erhält man als Lösung die hypergeometrische Funktion

$y(x) = F(\alpha, \beta, \gamma, x) = 1 + \frac{\alpha\beta}{1!\gamma}x + \frac{\alpha(\alpha + 1)\beta(\beta + 1)}{2!\gamma(\gamma + 1)}x^2 + \cdots$

Diese Potenzreihe besitzt den Konvergenzradius R = 1.

Mit der hypergeometrischen Funktion F(α,β,γ,z) können viele andere Funktionen dargestellt werden:

α	β	γ	z	F(α,β,γ,z)
1	β	β	x	1 / (1 − x)
− p	1	1	− x	(1 + x)p
$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	x2	$\frac{\arcsin(x)}{x}$
1	1	2	x	$\ln\left(1-x\right)$
1	$\infty$(*)	1	$\frac{x}{\beta}$	exp (x)
n + 1	− n	1	$\frac{1-x}{2}$	$P_n\left(x\right)$(**)

^(*)Es muss der Grenzwert gebildet werden.

^(**)Das n-te Legendre-Polynom, $n \in \mathbb{N}_0$.

Die hypergeometrische Differentialgleichung kann noch verallgemeinert werden zur heunschen Differentialgleichung.

Konfluente hypergeometrische Differentialgleichung

Diese Differentialgleichung besitzt die Form

$\ x u'' + (\beta - x)u' - \alpha u = 0\ .$

Für $-\beta \notin \mathbb{N}_{0}$ wird die Differentialgleichung durch die kummersche Funktion, benannt nach Ernst Eduard Kummer,

$K(\alpha, \beta, x) = 1 + \frac{\alpha}{1!\beta}x+\frac{\alpha(\alpha + 1)}{2!\beta(\beta + 1)}x^2 + \cdots$

gelöst.