Montel-Raum

Der mathematische Begriff Montel-Raum bezeichnet eine spezielle Klasse lokalkonvexer Räume. Ihren Namen tragen sie nach dem Satz von Montel aus der Funktionentheorie. Viele lokalkonvexe Räume aus der Theorie der Distributionen sind Montelräume.

Definition

Ein lokalkonvexer Raum heißt Montel-Raum, wenn er quasitonneliert ist und der Abschluss jeder beschränkten Menge kompakt ist.

Beispiele

• Ein normierter Raum ist genau dann Montelraum, wenn er endlich-dimensional ist.
• Ist $G\subset {\mathbb C}$ ein Gebiet und ist H(G) der Raum der holomorphen Funktionen auf G mit den Halbnormen $p_K(f) := \sup_{z\in K}|f(z)|$, wobei $K\subset G$ die kompakten Teilmengen von G durchläuft, so hat nach dem Satz von Montel jede in H(G) beschränkte Menge einen kompakten Abschluss. Da H(G) als Fréchet-Raum auch quasitonneliert ist, erweist sich H(G) als Montel-Raum.
• Sei $\Omega\subset {\mathbb R}^n$ offen und ${\mathcal E}(\Omega)$ der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen $f:\Omega\rightarrow {\mathbb R}$ mit den Halbnormen $p_{K,m}(f) := \sup_{|\alpha|\le m}\sup_{x\in K}|D^\alpha f(x)|$, so ist ${\mathcal E}(\Omega)$ ein Montel-Raum. Dabei wurde für $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ die Multiindex-Schreibweise verwendet.
• Sei $\Omega\subset {\mathbb R}^n$ offen und ${\mathcal D}(\Omega)\subset {\mathcal E}(\Omega)$ der Unterraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit einem kompakten Träger in Ω. Für kompaktes $K\subset \Omega$ sei ${\mathcal D}_K(\Omega)$ der Raum der Funktionen mit Träger in K mit der von ${\mathcal E}(\Omega)$ induzierten Teilraumtopologie. Dann gibt es eine feinste lokalkonvexe Topologie auf ${\mathcal D}(\Omega)$, die alle Einbettungen ${\mathcal D}_K(\Omega) \subset {\mathcal D}(\Omega)$ stetig macht. ${\mathcal D}(\Omega)$ mit dieser Topologie ist der Raum der Testfunktionen und ist ein Beispiel für einen nicht-metrisierbaren Montel-Raum.
• Sei ${\mathcal S}({\mathbb R}^n)$ der Raum aller Funktionen $f:{\mathbb R}^n \rightarrow {\mathbb R}$, für die alle Suprema $p_{k,m}(f) := \sup_{|\alpha|\le k}\sup_{x\in {\mathbb R}^n} |(1+|x|^2)^m D^\alpha f(x)|$ endlich sind. Dabei wurde wieder von der Multiindex-Schreibweise Gebrauch gemacht. Der Raum ${\mathcal S}({\mathbb R}^n)$ mit den Halbnormen $\{p_{k,m};\,k,m\in{\mathbb N}_0\}$ heißt Raum der schnell fallenden Funktionen und ist ein Montel-Raum.
• Vollständige quasitonnelierte Schwartz-Räume sind Montel-Räume.
• Jeder lokalkonvexe Raum mit der feinsten lokalkonvexen Topologie, d.h. mit der von allen absolutkonvexen, absorbierenden Mengen als Nullumgebungsbasis erzeugten Topologie, ist ein Montel-Raum.

Eigenschaften von Montelräumen

• Montel-Räume sind reflexiv und daher tonneliert.
• Montel-Räume sind quasivollständig, d.h. jedes beschränkte Cauchy-Netz konvergiert. Es gibt unvollständige Montel-Räume.
• Direkte Produkte (mit der Produkttopologie) und direkte Summen (mit der Finaltopologie) von Montel-Räumen sind wieder Montel-Räume.
• Im Allgemeinen sind weder abgeschlossene Unterräume noch Quotienten von Montel-Räumen wieder Montel-Räume.
• Ist E ein Montel-Raum, so auch der starke Dualraum E'. Insbesondere sind also die in der Distributionstheorie auftretenden Räume ${\mathcal E}'(\Omega)$, ${\mathcal D}'(\Omega)$ und ${\mathcal S}'({\mathbb R}^n)$ Montel-Räume.

Quellen

• K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
• H. H. Schaefer: Topological Vector Spaces, Springer, 1971 ISBN 0-387-98726-6
• H. Jarchow: Locally Convex Spaces, Teubner, Stuttgart 1981 ISBN 3-519-02224-9
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8