Mengenverband

Mengenverband

In der Mathematik ist ein Mengenverband ein Grundbegriff der Maßtheorie und der Verbandstheorie. Er bezeichnet ein nicht leeres Mengensystem, das vereinigungs- und durchschnittsstabil ist.

Felix Hausdorff nannte aufgrund einer entfernten Ähnlichkeit zur algebraischen Struktur eines Ringes in der Zahlentheorie einen MengenverbandRing“,[1] unter einem Ring versteht man heute in der Maßtheorie jedoch einen speziellen Mengenverband, weil dieser in einem engen Zusammenhang zu einem Ring im Sinne der Algebra stehtim Unterschied zu einem allgemeinen Mengenverband.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei Ω eine beliebige Menge. Ein System \mathcal V von Teilmengen von Ω heißt ein Mengenverband oder Verband über Ω, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

  1. \mathcal V \neq \emptyset (\mathcal V ist nicht leer).
  2. A, B \in \mathcal V \Rightarrow A \cup B \in \mathcal V (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Vereinigung).
  3. A, B \in \mathcal V \Rightarrow A \cap B \in \mathcal V (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Durchschnitt).

Beispiele

  • Über jeder beliebigen Menge Ω ist mit \{A\}, A \subseteq \Omega, ein kleinster und mit der Potenzmenge \mathcal P(\Omega) der größte mögliche Mengenverband gegeben.
  • Jede σ-Algebra ist ein Mengenverband (aber nicht jeder Mengenverband ist eine σ-Algebra).

Eigenschaften

  • Aus der Vereinigungs- sowie Durchschnittsstabilität folgt jeweils induktiv, dass auch jede nicht leere, endliche Vereinigung und jeder nicht leere, endliche Durchschnitt von Elementen des Mengenverbandes \mathcal V in ihm enthalten ist, dh. für alle n \in \mathbb N gilt:
A_1, \dots, A_n \in \mathcal V \Rightarrow A_1\cup \dots\cup A_n \in \mathcal V und A_1\cap \dots\cap A_n \in \mathcal V.

Äquivalente Definitionen

Wenn \mathcal V ein System von Teilmengen von Ω ist, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

Verwandte Strukturen

Siehe auch

Anmerkungen und Einzelnachweise

  1. Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, BerlinHeidelberg 1996. S. 12.
  2. Der hier verwendete Begriff des Halbringes unterscheidet sich grundlegend von dem eines (Mengen-)Halbringes im Sinne der Maßtheorie, also eines speziellen Mengensystems, beide stehen nicht im Zusammenhang!

Literatur

  • Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982. ISBN 3-411-01638-8
  • U. Hebisch, HJ. Weinert: HalbringeAlgebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. Teubner, Stuttgart 1993. ISBN 3-519-02091-2
  • Ernst Henze: Einführung in die Maßtheorie. 2. überarb. Aufl.. Bibliographisches Institut, Zürich 1985. ISBN 3-411-03102-6
  • Hans Hermes: Einführung in die Verbandstheorie. 2. erw. Aufl., Springer, BerlinHeidelberg 1967.

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