Mengenverband

In der Mathematik ist ein Mengenverband ein Grundbegriff der Maßtheorie und der Verbandstheorie. Er bezeichnet ein nicht leeres Mengensystem, das vereinigungs- und durchschnittsstabil ist.

Felix Hausdorff nannte aufgrund einer entfernten Ähnlichkeit zur algebraischen Struktur eines Ringes in der Zahlentheorie einen Mengenverband „Ring“,^[1] unter einem Ring versteht man heute in der Maßtheorie jedoch einen speziellen Mengenverband, weil dieser in einem engen Zusammenhang zu einem Ring im Sinne der Algebra steht – im Unterschied zu einem allgemeinen Mengenverband.

Definition

Sei Ω eine beliebige Menge. Ein System $\mathcal V$ von Teilmengen von Ω heißt ein Mengenverband oder Verband über Ω, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. $\mathcal V \neq \emptyset$ ($\mathcal V$ ist nicht leer).
2. $A, B \in \mathcal V \Rightarrow A \cup B \in \mathcal V$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Vereinigung).
3. $A, B \in \mathcal V \Rightarrow A \cap B \in \mathcal V$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Durchschnitt).

Beispiele

• Über jeder beliebigen Menge Ω ist mit $\{A\}, A \subseteq \Omega,$ ein kleinster und mit der Potenzmenge $\mathcal P(\Omega)$ der größte mögliche Mengenverband gegeben.
• Jede σ-Algebra ist ein Mengenverband (aber nicht jeder Mengenverband ist eine σ-Algebra).

Eigenschaften

• Aus der Vereinigungs- sowie Durchschnittsstabilität folgt jeweils induktiv, dass auch jede nicht leere, endliche Vereinigung und jeder nicht leere, endliche Durchschnitt von Elementen des Mengenverbandes $\mathcal V$ in ihm enthalten ist, d. h. für alle $n \in \mathbb N$ gilt:

$A_1, \dots, A_n \in \mathcal V \Rightarrow A_1\cup \dots\cup A_n \in \mathcal V$ und $A_1\cap \dots\cap A_n \in \mathcal V.$

Äquivalente Definitionen

Wenn $\mathcal V$ ein System von Teilmengen von Ω ist, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

• $\mathcal V$ ist ein Mengenverband.
• $(\mathcal V,\cup)$ und $(\mathcal V,\cap)$ sind Halbverbände im Sinne der Algebra.
• $(\mathcal V,\cup,\cap)$ ist ein Verband im Sinne der Algebra.
• $(\mathcal V,\cup,\cap)$ ist ein distributiver Verband im Sinne der Algebra.
• $(\mathcal V,\cup,\cap)$ ist ein idempotenter kommutativer Halbring im Sinne der Algebra.^[2]
• $(\mathcal V,\cup,\cap)$ ist ein Halbring im Sinne der Algebra.

Verwandte Strukturen

• Ein Mengenring ist ein Mengenverband, der zusätzlich differenzstabil ist.
• Eine Mengenalgebra ist ein Mengenverband, der sogar komplementstabil ist. Mengenalgebren sind spezielle Mengenringe.

Siehe auch

• Mengenlehre

Anmerkungen und Einzelnachweise

1. ↑ Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin–Heidelberg 1996. S. 12.
2. ↑ Der hier verwendete Begriff des Halbringes unterscheidet sich grundlegend von dem eines (Mengen-)Halbringes im Sinne der Maßtheorie, also eines speziellen Mengensystems, beide stehen nicht im Zusammenhang!

Literatur

• Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982. ISBN 3-411-01638-8
• U. Hebisch, H. J. Weinert: Halbringe – Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. Teubner, Stuttgart 1993. ISBN 3-519-02091-2
• Ernst Henze: Einführung in die Maßtheorie. 2. überarb. Aufl.. Bibliographisches Institut, Zürich 1985. ISBN 3-411-03102-6
• Hans Hermes: Einführung in die Verbandstheorie. 2. erw. Aufl., Springer, Berlin–Heidelberg 1967.