Halbring (Algebraische Struktur)

Halbring

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Abstrakte Algebra Gruppentheorie Zahlentheorie

ist Spezialfall von

Links-Halbring

umfasst als Spezialfälle

Boolesche Algebra Dioid (m.E., siehe links) Halbkörper (natürliche Zahlen$,+, \cdot)$ Ring

Ein Halbring ist in der Mathematik die Verallgemeinerung der algebraischen Struktur eines Ringes, in der die Addition nicht mehr eine kommutative Gruppe, sondern nur noch eine kommutative Halbgruppe sein muss.

Achtung: Halbringe werden ebenso mit nicht kommutativer Addition sowie mit (absorbierender) 0 und/oder 1 definiert: Die Definitionen in der Literatur sind nicht einheitlich!

Definitionen

Halbring

Ein Halbring (engl.: Semiring) ist eine algebraische Struktur $(H, +, \cdot)$ mit einer (nichtleeren) Menge H und mit zwei zweistelligen Verknüpfungen $+\colon H\times H\to H$ (Addition) und $\cdot\colon H\times H\to H$ (Multiplikation), für die gilt:

1. (H, + ) ist eine kommutative Halbgruppe.
2. $(H, \cdot)$ ist eine Halbgruppe.
3. Es gelten die Distributivgesetze, d.h. für alle $a,b,c \in H$ gilt

$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$   sowie   $c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b.$^[1]

Ist auch $(H, \cdot)$ kommutativ, so spricht man von einem kommutativen Halbring.

Nullelement

Besitzt ein Halbring $(H, +, \cdot)$ ein neutrales Element $0 \in H$ bezüglich der Addition, d. h.

0 + a = a + 0 = a für alle $a \in H,$

so nennt man dieses das Nullelement oder kurz die Null des Halbringes. Die Null 0 eines Halbringes heißt absorbierend, falls

$0 \cdot a = a \cdot 0 = 0$ für alle $a \in H.$

Ein Halbring $(H, +, \cdot)$ mit einem absorbierenden Nullelement $0 \in H$ heißt auch Hemiring.^[2]

Einselement

Wenn ein Halbring ein neutrales Element $1 \in H$ bezüglich der Multiplikation enthält, also

$1 \cdot a = a \cdot 1 = a$ für alle $a \in H,$

dann nennt man dieses das Einselement oder kurz die Eins des Halbringes.

Ein Halbring mit absorbierendem Nullelement 0 und Einselement $1 \neq 0$ heißt auch Bewertungshalbring.^[3]

Dioid

Ein Hemiring $(H, +, 0, \cdot)$ mit einem Einselement $1 \in H$ (neutrales Element der Multiplikation), dessen Addition idempotent ist, wird als Dioid bezeichnet, d. h. bei einem Dioid sind (H, + ,0) und $(H, \cdot, 1)$ u. a. Monoide.

Beispiele

• $(\Bbb{N},+,0,\cdot,1)$;
• $(\Bbb{Q}_+,+,0,\cdot,1)$ ist sogar ein Halbkörper.
• $(\Bbb{R} \cup \{\infty\},\operatorname{min},\infty,+,0)$, die sogenannte Min-Plus-Algebra;
• Für jede Menge X ist die Potenzmenge $(\mathcal P(X) , \cup,\emptyset,\cap, X )$ ein Halbring.
• Allgemeiner ist jede Boolesche Algebra ein Halbring.

Literatur

• François Baccelli, Guy Cohen, Geert J. Olsder, Jean-Pierre Quadrat: Synchronization and Linearity (online version). Wiley, New York 1992, ISBN 0-471-93609-X.
• Jonathan S. Golan: Semirings and their applications. Updated and expanded version of The theory of semirings, with applications to mathematics and theoretical computer science. Longman Sci. Tech., Harlow 1992 [3]. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1999. ISBN 0-7923-5786-8 [4].
• Udo Hebisch, Hanns J. Weinert: Halbringe. Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. Teubner, Stuttgart 1993. ISBN 3-519-02091-2.

Anmerkungen und Einzelnachweise

1. ↑ Man sagt auch: $\cdot$ distribuiert über + .
2. ↑ D. R. La Torre: On h-ideals and k-ideals in hemirings. Publ. Math. Debrecen 12, 219-226 (1965) [1] [2].
3. ↑ Hebisch, Weinert; S. 257