Absorbierende Menge

In der Mathematik wird eine Teilmenge T eines reellen oder komplexen Vektorraumes V absorbierend genannt, wenn es zu jedem Vektor x in V eine positive reelle Zahl r gibt, so dass αx ein Element von T ist für jedes reelle bzw. komplexe α mit | α | < r.

Die Bezeichnung rührt daher, dass obige Definition äquivalent zu der folgenden ist: Für alle x in V gibt es r > 0 so dass x ein Element von α T ist für alle | α | > r. (Es genügt offenbar, obiges r > 0 durch 1/r zu ersetzen.) Das heißt, die Menge T kann durch skalare Multiplikation so "aufgeblasen" werden, dass sie jeden beliebigen Vektor enthält und durch weiteres Aufblasen nicht wieder verliert, d.h. ihn "absorbieren" kann.

Diese zweite Formulierung scheint auf den ersten Blick natürlicher. Die erstgenannte Definition wird jedoch bevorzugt, da sie sich auf natürliche Weise auf die Definition einer beschränkten Menge eines topologischen Moduls übertragen lässt (nämlich, eine Menge die von jeder Nullumgebung absorbiert wird). Wegen der möglichen Existenz von Nullteilern und der möglichen nicht-Existenz von beschränkten Nullumgebungen, ist in diesem Fall eine Definition im Sinne der zweiten Formulierung nicht sinnvoll.

Einfache Konsequenzen

Da r positiv gefordert wird, muss T den Nullvektor enthalten.

In einem topologischen Vektorraum (z.B. in einem normierten Raum) ist jede Nullumgebung U absorbierend, denn ist x ein Vektor in V, so ist $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}x = 0$, d.h. $\frac{1}{n}x\in U$ für hinreichend große n.

Literatur

• K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992
• H. Heuser: Funktionalanalysis, B. G. Teubner Stuttgart, 1992, S. 253

Siehe auch

• Lokalkonvexer Raum