Von-Neumann-Hierarchie

Die von-Neumann-Hierarchie oder kumulative Hierarchie ist ein Begriff der Mengenlehre, der eine Konstruktion von John von Neumann aus dem Jahr 1928 benennt, und zwar einen stufenweisen Aufbau des gesamten Mengenuniversums mit Hilfe von Ordinalzahlen.^[1]

Definition

Die Stufen V_α zu Ordinalzahlen α werden definiert durch transfinite Rekursion über folgende Rekursionsbedingungen:

• $V_0 \,:=\, \emptyset$, die leere Menge;
• $V_{\alpha+1} \,:=\, P(V_\alpha)$, die Potenzmenge von V_α;
• $V_\lambda \,:=\, \bigcup_{\alpha <\lambda}V_\alpha$, für Limes-Ordinalzahlen λ.

Demnach ist

$\begin{align} V_1 &= \{\emptyset \} \\ V_2 &= \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \\ V_3 &= \{\,\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{\emptyset\}\}, \{\emptyset,\{\emptyset\}\}\,\}, etc. \end{align}$

Sämtliche Mengen in den V_α sind also aus der leeren Menge heraus konstruiert. Die Stufen sind transitive Mengen, und es gilt $V_\alpha \subset V_\beta$ für alle Ordinalzahlen α < β, dies erklärt den Namen kumulative Hierarchie.

Die Hierarchie

Innerhalb der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (kurz ZF) lässt sich zeigen, dass jede Menge in einer Stufe der Hierarchie liegt^[2]: Bezeichnet $V:=\{x\mid x=x\}$ die Klasse aller Mengen gilt also

$\begin{align} V=\bigcup_{\alpha\in Ord}V_\alpha \end{align}$

Hierbei wird das Fundierungsaxiom essentiell verwendet. Umgekehrt folgt aus obiger Aussage auch das Fundierungsaxiom, beide Aussagen sind also äquivalent (über den restlichen Axiomen von ZF).

Weiterhin kann gezeigt werden, dass die Klasse $\bigcup_{\alpha\in Ord}V_\alpha$ ein Modell für ZF ist, ohne das Fundierungsaxiom zu verwenden. Selbiges ist also relativ konsistent zu den übrigen Axiomen.

Rangfunktion

Da jede Menge x in einer geeigneten Stufe V_α liegt, gibt es stets eine kleinste Ordinalzahl α mit $x\in V_{\alpha +1}$. Dieses α wird als der Rang, Rg(x), der Menge x bezeichnet.

Mittels transfiniter Induktion über α kann man

$Rg(\alpha) \,=\, \alpha$ für alle Ordinalzahlen α

zeigen. Für jede Menge x gilt $Rg(x)=\sup\{Rg(y)+1\mid y\in x\}$. Der Rang von x ist also stets strikt größer als der Rang aller ihrer Elemente.

Anwendungen

• V_ω besteht genau aus den erblich endlichen Mengen. In V_ω gelten mit Ausnahme des Unendlichkeitsaxioms alle ZFC-Axiome. Damit ist gezeigt, dass das Unendlichkeitsaxiom nicht aus den übrigen ZFC-Axiomen hergeleitet werden kann.
• Ist κ eine unerreichbare Kardinalzahl, so ist V_κ ein Modell für ZFC. Insbesondere erhält man auf diese Weise ein Modell, in dem es keine unerreichbaren Kardinalzahlen gibt. Die Existenz unerreichbarer Kardinalzahlen kann also nicht in ZFC hergeleitet werden.^[3]
• Die Stufen V_α spielen eine Rolle beim Reflexionsprinzip, welches ein wichtiges Axiom im Scottschen Axiomensystem ist.

Einzelnachweise

1. ↑ John von Neumann: Über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre, 1928, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik 160 (1929) 227-241. Dort S. 236f die komulative Hierarchie, aber namenlos.
2. ↑ Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre, Spektrum Verlag 2003, ISBN 3-8274-1411-3
3. ↑ Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003) , ISBN 3-540-44085-2, Theorem 12.12.