Schwartz-Menge

Bei Wahlen ist die Schwartz-Menge die Vereinigung aller minimalen undominierten Mengen. Ein minimale undominierte Menge ist eine nicht leere Menge S von Bewerbern, so dass

1. jeder Bewerber innerhalb der Menge S ist paarweise ungeschlagen von jedem Bewerber außerhalb von S (d. h. eine undominierte Menge); und
2. keine nicht-leere echte Teilmenge S erfüllt die erste Eigenschaft (d.h. minimal).

Eine Schwartz-Menge bietet eine Möglichkeit für ein optimales Wahlergebnis. Wahlverfahren, bei denen immer einen Bewerber aus der Schwartz Menge gewinnt, erfüllen das Schwartz-Kriterium. Die Menge ist nach dem Politikwissenschaftler Thomas Schwartz benannt.^[1]

Eigenschaften

• die Schwartz Menge ist nie leer - es gibt immer eine minimale undominierte Menge
• zwei unterschiedliche minimale undominierte Mengen sind disjunkt.
• wenn es einen Condorcet-Gewinner gibt, ist er das einzige Mitglied der Schwartz Menge. Wenn die Schwartz Menge nur einen Bewerber enthält, ist es zumindest einen schwacher Condorcet-Gewinner.
• enthält eine minimale undominierte Menge nur einen Bewerber ist er ein schwacher Condorcet-Gewinner. Enthält eine minimale undominierte Menge mehrere Bewerber, sind sie alle in einem Beatpath-Zyklus mit einander, ein Top-Zyklus.
• zwei Kandidaten aus verschiedenen minimalen undominierten Mengen schlagen sich nicht (unentschieden).

Vergleich mit der Smith-Menge

Die Schwartz-Menge ist immer eine Teilmenge der Smith-Menge. Die Smith-Menge ist nur dann grösser, wenn ein Bewerber in der Schwartz-Menge im paarweisen Vergleich unentschieden mit einem Bewerber ausserhalb der Schwartz-Menge abschneidet. Ein Beispiel:

• 3 Wähler bevorzugen Bewerber A vor B vor C
• 1 Wähler bevorzugt Bewerber B vor C vor A
• 1 Wähler bevorzugt Bewerber C vor A vor B
• 1 Wähler bevorzugt Bewerber C vor B vor A

A schlägt B, B schlägt C und A ist unentschieden mit C im paarweisen Vergleich. A ist somit das einzige Mitglied der Schwartz-Menge, während alle Bewerber Element der Smith-Menge sind.

Algorithmen

Die Schwartz-Menge kann mit dem Algorithmus von Floyd und Warshall mit O(n³), oder mit einer Version des Kosaraju Algorithmus mit O(n³) berechnet werden.

Einwilligen-Methoden

Die Schulze-Methode wählt immer einen Gewinner von Schwartz-Set.

Referenzen

• Benjamin Ward: Majority Rule and Allocation. In: Journal of Conflict Resolution. 5, Nr. 4, 1961, S. 379–389. doi:10.1177/002200276100500405. In einer Analyse der seriellen Entscheidungsfindung basierend auf Mehrheitsregel, beschreibt den Smith Satz und Schwartz festgelegt, jedoch offenbar nicht zu erkennen, dass die Schwartzschen Menge mehrere Komponenten haben kann.
• Thomas Schwartz: On the Possibility of Rational Policy Evaluation. In: Theory and Decision. 1, 1970, S. 89–106. doi:10.1007/BF00132454. Führt den Begriff der Schwartz-Set am Ende des Papiers als eine mögliche Alternative zu Maxiaturisierung, in Anwesenheit von zyklischen Einstellungen als Standard rationale Wahl.
• Thomas Schwartz: Rationality and the Myth of the Maximum. In: Noûs, Vol. 6, No. 2 (Hrsg.): Noûs. 6, Nr. 2, 1972, S. 97–117. doi:10.2307/2216143. Gibt eine axiomatische Charakterisierung und Begründung der Schwartz-Set als möglich Standard für optimale, rational kollektiven Wahl.
• Deb, Rajat: On Schwart's Rule. In: Journal of Economic Theory. 16, 1977, S. 103–110. doi:10.1016/0022-0531(77)90125-9. Beweist, dass Schwartz-Set die Menge der undominated Elemente der transitive Schluss der paarweisen Bevorzugung-Beziehung ist.
• Thomas Schwartz: The Logic of Collective Choice. New York: Columbia University Press 1986, ISBN 0-231-05896-9 Erläutert das Smith-Set (mit dem Namen GETCHA) und Schwartz-Set (mit dem Namen GOTCHA) als Standards für optimale, rational kollektiven Wahl.

Siehe auch

• Condorcet-Kriterium
• Condorcet-Methode
• Vorbestellung

Verweise

1. ↑ Dominanzrelation

• Beispiel Algorithmen zur Berechnung von Schwartz-Set