- Ordnungsideal
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In der Mathematik ist ein Filter eine nichtleere, nach unten gerichtete Oberhalb-Menge.
Ein Filter ist eine Teilmenge einer halbgeordneten Menge mit bestimmten Eigenschaften. Anschaulich betrachtet enthält ein Filter Elemente, die „zu groß“ sind als dass sie den Filter passieren könnten. Ist x ein Filterelement so auch jedes größere Element, und je zwei Filterelemente x und y enthalten einen gemeinsamen Kern z, der selbst schon zu groß ist, als dass er den Filter passieren könnte.
Filter in der umgekehrten Halbordnung heißen Ideale der Ordnung oder Ordnungsideale.
Inhaltsverzeichnis
Anwendungen
Filter treten in der Theorie der Ordnungen und Verbände auf. Ein wichtiger Spezialfall sind Mengenfilter, d. h. Filter in der durch Mengeninklusion geordneten Potenzmenge einer Menge. Mengenfilter werden besonders in der Topologie verwendet und erlauben dort die Verallgemeinerung des Begriffs der Folge für topologische Räume ohne abzählbare Umgebungsbasis. So bildet das System der Umgebungen
eines Punktes x in einem topologischen Raum einen speziellen Filter, den Umgebungsfilter. Umgebungsfilter können in Räumen, die kein Abzählbarkeitsaxiom erfüllen, zur Definition von Netzen verwendet werden, die die Rolle der Folgen aus der elementaren Analysis teilweise übernehmen. Man fasst dazu einen Filter als gerichtete Menge auf und betrachtet Netze auf dieser gerichteten Menge.
Mit einem Ultrafilter (der kein Hauptfilter ist) auf den natürlichen Zahlen lassen sich die hyperreellen Zahlen der Nichtstandardanalysis „konstruieren“. Allerdings wird die Existenz solcher Filter selbst nur durch das Auswahlaxiom – also nicht konstruktiv – gesichert.
Allgemeine Definitionen
Eine nichtleere Teilmenge F einer halbgeordneten Menge
heißt Filter, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
- F ist eine Oberhalb-Menge:
(D.h. alle (mit x in Relation stehenden) Elemente, die größer als x sind, sind Teil des Filters.) - F ist nach unten gerichtet:
und
(D.h. F ist bzgl. der Umkehrrelation der betrachteten Halbordnung gerichtet.)
Ein Filter heißt echter Filter, wenn er nicht ganz (also ungleich) P ist.
Jeder Filter auf einer halbgeordneten Menge P ist Element der Potenzmenge von P. Die Menge der auf derselben halbgeordneten Menge definierten Filter wird durch die Inklusionsrelation ihrerseits halbgeordnet. Sind F1 und F2 Filter auf derselben halbgeordneten Menge P, so heißt F2 feiner als F1 (F1 gröber als F2), wenn
. Ein maximal feiner echter Filter heißt Ultrafilter.
Filter in Verbänden
Während diese Definition von "Filter" die allgemeinste für beliebige halbgeordnete Mengen ist, wurden Filter ursprünglich für Verbände definiert. In diesem Spezialfall ist ein Filter eine nichtleere Teilmenge F des Verbandes
, die eine Oberhalb-Menge ist und abgeschlossen unter endlichen Infima, d.h. für alle
ist auch
.
Hauptfilter
Der kleinste Filter, der ein vorgegebenes Element p enthält, ist
. Filter dieser Form heißen Hauptfilter, und p ein Hauptelement des Filters. Der zu p gehörende Hauptfilter wird als
geschrieben.
Primfilter
Ein echter Filter F in einem Verband P mit der Zusatzeigenschaft
heißt Primfilter.
Ideal
Betrachtet man in einer halbgeordneten Menge
die Umkehrrelation
, so ist auch
wieder eine halbgeordnete Menge, ebenso erhält man aus einem (distributiven) Verband
durch Vertauschen der beiden Verbandsverküpfungen Supremum
und Infimum
wieder einen (distributiven) Verband. Sind in P ein kleinstes Element 0 und ein größtes Element 1 vorhanden, so werden sie ebenfalls vertauscht. In allen genannten Fällen wird die so durch Dualisierung entstehende Struktur als
notiert.
Ein Filter in
heißt ein Ordnungsideal oder auch kurz Ideal in P.
Beispiel
Wir betrachten in der sog. punktierten komplexen Ebene
die Teilmengen
für
der (offenen) Strahlen aus der Null (kurz: Nullstrahlen). Auf
definieren wir nun eine Halbordnung
indem wir
als kleiner-gleich
betrachten, falls z1 und z2 auf demselben Strahl liegen und z1 betraglich kleiner-gleich z2 ist. D.h.
für alle
und
In der halbgeordneten Menge
sind nun alle Filter gegeben durch die Nullstrahlen und deren offenen und abgeschlossenen Teilstrahlen
für alle
und
Jeder dieser Filter ist echt. Außerdem folgt aus
dass
feiner
feiner
feiner
insbesondere ist
ein maximal-feiner echter Filter und damit ein Ultrafilter. Für jede komplexe Zahl
ist der abgeschlossene Strahl
ihr Hauptfilter
mit z als (einzigem) Hauptelement.
Die Ordnungsideale in
entsprechen den fehlenden Strahlenabschnitten zwischen der Null und dem Beginn jedes Teilstrahls. Ist der Teilstrahl offen, enthält also nicht seinen Aufpunkt, so fehlt auch im entsprechenden Ordnungsideal der Aufpunkt – analog ist er im abgeschlossenen Fall in Teilstrahl und Ideal jeweils enthalten. (Filter und Ordnungsideal sind also nicht disjunkt!) Aus dem Nullstrahl ergibt sich kein entsprechendes Ordnungsideal, da der „fehlende“ Strahlenabschnitt durch die leere Menge gegeben wäre (die kein Filter sein kann). Die Ideale haben also die Form:
und
für alle
und
Mengenfilter
Ein wichtiger Spezialfall eines Filters – vor allem in der Topologie – sind Mengenfilter. Man geht in diesem Fall von der durch die Mengeninklusion halbgeordnete Potenzmenge
einer beliebigen nichtleeren Mengen X aus. Eine echte Teilmenge
ist genau dann ein Mengenfilter oder Filter, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind
und
Diese Definition stimmt mit der oben gegebenen für echte Filter in Verbänden überein, da die Potenzmenge von X einen Verband bildet.
- Beispiele für Mengenfilter
heißt der von
erzeugte Hauptfilter.
- Ist
ein topologischer Raum mit Topologie τ, dann heißt
Umgebungsfilter von x.
- Ist S eine unendliche Menge, dann heißt
Fréchet-Filter der Menge S.
- Ist
ein nichtleeres Mengensystem von
mit folgenden Eigenschaften
und
- so heißt
Filterbasis in X. Ein solches Mengensystem erzeugt auf natürliche Weise einen Filter
- Dieser heißt der von
erzeugte Filter.
- Ist
eine Abbildung zwischen zwei nichtleeren Mengen und
ein Filter auf X, so bezeichnet
den von der Filterbasis
erzeugten Filter. Dieser heißt Bildfilter von f.
Anwendungen in der Topologie
In der Topologie ersetzen Filter und Netze die dort i. Allg. unzureichenden Folgen. Man erhält dadurch oft analoge Sätze zu denen in metrischen Räumen.
Ist (X,τ) ein topologischer Raum, dann sagt man, ein Filter
konvergiert gegen ein
wenn
d. h., wenn
feiner ist als der Umgebungsfilter
von x. Schreibweise:
So ist zum Beispiel eine Abbildung
zwischen zwei topologischen Räumen genau dann stetig, wenn für jeden Filter
mit
gilt, dass
Hier zeigt sich, dass Filter ein durchaus brauchbares Hilfsmittel sind, topologische Eigenschaften zu charakterisieren.
Beachte, dass in einem nicht-hausdorffschen Raum ein Filter nicht gegen einen einzelnen Punkt konvergieren muss.
Siehe auch
Literatur
Zu den allgemeinen, ordnungs- und verbandstheoretischen Begriffsbildungen und ihren Anwendungen:
- Niels Schwartz: Spektrale Räume und Spektren in der Algebra. (Skript) PDF-Version, HTML-Version.
Zu den Anwendungen in der mengentheoretischen Topologie:
- Boto v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3540677909.
- Thorsten Camps, Stefan Kühling und Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. Heldermann, 2006, ISBN 3-88538-115-X.
- F ist eine Oberhalb-Menge:
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