Tonstruktur (mathematische Beschreibung)

Eine Tonstruktur beschreibt ein Tonsystem mit Hilfe von Tönen und Intervallen^[1] Seit der Antike wird der Tonvorrat einer Musikkultur zum einen über die Angabe von Tonhöhen und zum andern über den Begriff des Intervalls wiedergegeben; im Lichte moderner Mathematik handelt es sich dabei um eine Struktur.^[2]

Ein Intervall wird in diesem Sinn zwischen zwei beliebigen Tönen gebildet, die gleichzeitig oder nacheinander erklingen können.

Tonstruktur

Im Folgenden wird präzisiert:

• Je zwei Tönen, die man hört, kann man ein Intervall zuordnen.
• Von jedem Ton aus kann man ein gegebenes Intervall aufwärts singen.
• Von jedem Ton aus kann man ein Intervall aufwärts singen und daraufhin ein zweites Intervall. Man kann also Intervalle "addieren".
• Intervalle lassen sich in ihrer Größe vergleichen.

Den Intervallgrößenbereich kann man als Tonhöhenraum auffassen, in dem Intervalle wie Vektoren und Tonhöhen wie Punkte betrachtet werden. Der Größenbereich wird dann auf natürliche Weise zur Tonstruktur. Genauer:

Bei einer Tonstruktur hat man einerseite eine Menge $\mathbf T$ von Tönen, zum Beispiel: ..., c, d, e, f, ... und anderserseits eine Menge $\mathbf I$ von Intervallen zum Beispiel: Oktave, Quinte, große Terz, ...

Jedem Tonpaar (x,y) wird ein eindeutiges Intervall $i= \overrightarrow {xy}$ von x zu y zuordnet.

Beispiel: $Quinte = \overrightarrow {EsAs}$ ( Es = Grundton, As = Endton):

Ist umgekehrt der Grundton x und das Intervall i bekannt, so ist durch $i = \overrightarrow {xy}$ der Endton $y = x \oplus i$ eindeutig bestimmt.

Intervalle kann man nach folgender Vorschrift (wie bei Vektoren) addieren: Ist $i = \overrightarrow {xy}$ und $j = \overrightarrow {yz}$, dann ist $i+j = \overrightarrow {xz}$.

Töne und Intervalle kann man vergleichen ("Der Ton x ist höher als der Ton y". "Das Intervall j ist größer als das Intervall i".)

Wir schreiben $i \!\ <j$, wenn der Endton von j höher als der Endton von i bei gleichem Grundton ist.

Zum Beispiel: Quinte < Oktave, da zum Beispiel Quinte = CG und Oktave = Cc und der Ton c höher ist als der Ton G.

Für Intervalle gilt auf der additiven musikalischen Ebene das alltägliche Rechnen mit Größen, wie im folgenden Abschnitt präzisiert wird.^[3]

Intervallraum

Der Intervallraum $\mathbf I$ ist eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe.

Demnach gelten folgende Gesetze:

Die Addition (Hintereinanderausführung) i + j von Intervallen i und j ist wieder ein Intervall (Abgeschlossenheit).

Für Intervalle i und j gilt: i + j = j + i (Kommutativgesetz).

Für Intervalle i, j und k gilt: (i + j) + k = i + (j + k) (Assoziativgesetz).

Es gibt ein neutrales Element, die Prim P, so dass i + P = i für alle Intervalle i.

Zu jedem Intervall i gibt es ein inverses Intervall − i mit i + ( − i) = P. (Damit ist die Subtraktion i - j = i + (-j) definiert.)

Zwei Intervalle i und j kann man vergleichen. Entweder i < j oder i = j oder i > j ("Der Intervallraum ist geordnet"). Nun kann man definieren: Ein positives Intervall i ist ein Intervall mit i > P.

Für Intervalle i,j und k gilt: i < j und j < k = > i < k (Transitivgesetz)

Für Intervalle i,j und k gilt: i < j = > i + k < j + k (Die Ordnungsrelation ist mit der Addition verträglich.)

Zu zwei positiven Intervallen i und j gibt es stets eine natürliche Zahl n so, dass $n \cdot i = \underbrace {i+i+...+i}_{n mal} > j$ ist (Archimedisches Gesetz).

Folgerung: Jedes Intervall i lässt sich mit der Oktave^[4] vergleichen, d.h. zu jedem Intervall i existiert genau eine reelle Zahl r mit

$i = r \cdot Ok$.

Dies soll im Folgenden erläutert werden. (Zur Verdeutlichung auch mit der Untereinheit Cent, wobei 1 Oktave = 1200 Cent.^[5])

Gilt näherungsweise für das Intervall i und die Oktave Ok:

$n \cdot i \approx z \cdot Ok{,} \text { zum Beispiel: } 12 \text { Quinten} \approx 7 \text { Oktaven,}$

so schreibt man dafür

$i \approx \frac {z}{n} Ok. \text { Zum Beispiel: } Quinte \approx \frac {7}{12} Oktaven = \frac {7} {12} \cdot 1200 \text { Cent} \approx 700 \text { Cent}$.

Die Rechnung erfolgt über das Frequenzverhältnis q von i und dem Frequenzverhältnis 2 der Oktave:

$n \cdot i \approx z \cdot Ok <=> q^n \approx 2^z <=> q \approx 2^\frac {z} {n} .$

Für die Beziehung $i = r \cdot Ok$ ist also die Zahl r gesucht für die gilt.

$q = \!2^r.$

Die Lösung erhält man über den Logarithmus zur Basis 2:

$i = r \cdot Ok, \text {wobei } r = log_2 q (r \in \R).$^[6]

Zum Beispiel erhält man für die Quinte mit dem Frequenzverhältnis q = ³/₂:

$Quinte = log_2 \frac{3}{2} Ok = log_2 \frac{3}{2} \cdot 1200\ Cent = 701{,}955\ Cent$.

($r = log_2 \frac{3}{2}$ ist in diesem Fall irrational.)

Beispiele für Intervallräume

In der folgenden Tabelle bedeutet:

• Ok=Oktave (Frequenzverhältnis 2 $\widehat = 1200 Cent$),
• H=Halbton (Frequenzverhältnis $\sqrt[12]{2} \widehat = 100 Cent$),
• Q=Quinte (Frequenzverhältnis 3/2 $\widehat \approx 702 Cent$),
• Q_m=1/4-Komma mitteltönige Quinte (Frequenzverhältnis $\sqrt[4]{5} \widehat \approx 697 Cent$)
• T=Terz (Frequenzverhältnis 5/4 $\widehat \approx 386 Cent)$.

Name des Intervallraums	Intervallraum
Der zwölfstufige Intervallraum Intervallraum der gleichstufigen Stimmung	$\mathcal H = \{ n \cdot H \|n \in \Z\}$
Das Quintensystem Intervallraum der pythagoreischen Stimmung	$\mathcal Q = \{n \cdot Ok + m \cdot Q \|n,m \in \Z\}$
Das 1/4-Komma mitteltönige Quintensystem Intervallraum der mitteltönigen Stimmung	$\mathcal Q_m = \{n \cdot Ok + m \cdot Q_m \|n,m \in \Z\}$
Das Quint-Terz-System Intervallraum der reinen Stimmung	$\mathcal Q \mathcal T = \{n \cdot Ok + m \cdot Q +k \cdot T\|n,m,k \in \Z\}$
Der allumfassende Intervallraum (Alle Intervalle sind beliebig teilbar)	$\mathcal \{ r \cdot Ok \|r \in \R\}$ (Hier ist die Einheit Cent = 1/1200 Ok anzusiedeln.)

Die meisten Intervalle sind nicht teilbar

Im Allgemeinen kann man Intervalle nicht teilen. Die "halbe Quinte" $\frac {1} {2} \cdot Q$ wäre zwischen kleiner und großer Terz anzusiedeln und ist im Stimmungssystem weder der pythagoreischen noch der mitteltönigen, reinen oder gleichstufigen Stimmung ein vorkommendes Intervall. Auch die halbe Oktave $\frac {1}{2} Ok$ (600 Cent) existiert nicht im Stimmungssystem der pythagoreischen, der mitteltönigen oder reinen Stimmung. In diesen Intervallräumen gibt es jedoch beliebig kleine positive Intervalle im folgenden Sinn: Zu jedem Intervall i > 0 gibt es ein Intervall j > 0 $( i,j \in \mathcal Q, i,j \in \mathcal Q_m \text{ oder } i,j \in \mathcal Q \mathcal T)$, das kleiner als die Hälfte von i ist (Ohne Bruch: 0 < j < 2j < i).

Die gleichstufige Stimmung

Die Grundlage der gleichstufigen Stimmung ist der 12-stufige Tonraum $\mathcal H$ mit den folgenden Intervallen:

Intervall	Dartstellung	Größe in Cent
Halbton	H	100 Cent
Ganzton	2H	200 Cent
kleine Terz	3H	300 Cent
große Terz	4H	400 Cent
...	...	...
ausführliche Tabelle

die pythagoreische Stimmung

Die Grundlage der pythagoreischen Stimmung ist das Quintsystem $\mathcal Q$ mit den folgenden Intervallen:

Intervall	Dartstellung	Frequenzverhältnis
Oktave	Ok (Grundintervall)	2:1
Quinte	Q (Grundintervall)	3:2
Ganzton	2Q-Ok	9:8
pythagoreische große Terz (Ditonus)	2 Ganztöne = 4Q-2Ok	81:64
Quarte	Ok-Q	4:3
pythagoreischer Halbton (Limma)	Quart-Ditonos = 3Ok - 5Q	256:243
pythagoreischer chromatischer Halbton (Apotome)	Ganzton - Limma = 7Q - 4 Ok	2187:2048
pythagoreisches Komma	12Q-7Ok	531441:524288
ausführliche Tabelle

Die mitteltönige Stimmung

Die Grundlage der 1/4-Komma mitteltönigen Stimmung ist das 1/4-Komma mitteltönige Quintsystem $\mathcal Q_m$, mit den folgende Intervallen:

Intervall	Darstellung	Frequenzverhältnis
Oktave	Ok (Grundintervall)	2:1
Quinte	Qm (Grundintervall)	$\sqrt[4]{5}$
Große Terz	4Qm - 2OK = T	5/4
Quarte	Ok - Qm	$\frac {2}{5} \sqrt[4]{5^3}$
Kleine Sext	3Ok - 4Qm = Ok - T	8:5
Kleine Terz	2Ok-3Qm	$\frac {4}{5} \sqrt[4]{5}$
Große Sext	3Qm-Ok	$\frac {1}{2} \sqrt[4]{5^3}$
Ganzton	2Qm - Ok	$\frac {1}{2} \sqrt[4]{5^2}$
Kleine Septime	2Ok - 2Qm	$\frac {4}{5} \sqrt[4]{5^2}$
Halbton	3Qm - 5Ok	$\frac {8}{25} \sqrt[4]{5^3}$
Große Septime	5Qm - 2Ok	$\frac {5}{4} \sqrt[4]{5}$
ausführliche Tabelle

Die reine Stimmung

Die Grundlage der reinen Stimmung ist das Quint-Terz-System $\mathcal Q$ $\mathcal T$, mit den folgende Intervallen:

Intervall	Darstellung	Frequenzverhältnis
Oktave	Ok (Grundintervall)	2:1
Quinte	Q (Grundintervall)	3:2
Große Terz	T (Grundintervall)	5:4
Quarte	Ok - Q	4:3
Kleine Sext	Ok - T	8:5
Kleine Terz	Q - T	6:5
Große Sext	Ok + T - Q	5:3
(Großer) Ganzton	Q + Q - Ok	9:8
Kleiner Ganzton	T - (Großer Ganzton) = Ok + T - Q - Q	10:9
Kleine Septime (1. Möglichkeit)	Ok - (Großer Ganzton) = 2Ok - 2Q	16:9
Kleine Septime (2. Möglichkeit)	Ok - (Kleiner Ganzton) = Q + Q - T	9:5
Halbton	Quarte - T = Ok - Q - T	16:15
Große Septime	Ok - Halbton = Q + T	15:8
Syntonisches Komma	2(Große Ganztöne) - T = 4Q - 2Ok - T	81:80
ausführliche Tabelle

Um aus einer Proportion des Quint-Terz-Systems herauszufinden, aus welchen Grundintervallen das Intervall zusammengesetzt ist, muss man den Tripellogarithmus berechnen.

Beispiel:

Die Gleichung $\frac {81} {80} = 2^x \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^y \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^z, x,y,z \in Z$ hat die eindeutige Lösung, als "Tripellogarithmus" bezeichnet: x=-2, y=4 und z=-1.

Damit gilt für das Intervall i mit dem Frequenzverhältnis $\frac {81} {80}$ die Beziehung $i = -2 \cdot Ok + 4 \cdot Q - T$. (Siehe syntonisches Komma.)

Proportionen

Hier wird präzisiert:

• Jedem Intervall entspricht ein Frequenzverhältnis (hier aus historischen Gründen Proportion genannt).
• Der Hintereinanderausführung (Addition) von Intervallen entspricht die Multiplikation der Frequenzverhälnisse.
• Die Größe der Intervalle kann man vergleichen. Zur Feinjustierung verwendet man das Cent, wobei 1 Oktave = 1200 Cent.

Physikalisch betrachtet kann man einem Ton x eine Frequenz Frequenz(x) zuordnen und einem Intervall $\overrightarrow {xy}$ das Frequenzverhältnis, hier allgemeiner als Proportion bezeichnet, da die Frequenzverhältnisse nichts anderes als die Kehrwerte der Saitenlängen im pythagoreischen Denken sind (Proportion=Frequenzverhältnis):

$Proportion(\overrightarrow {xy}) := Frequenz(y):Frequenz(x)$ bzw.

$Proportion(\overrightarrow {xy}) := Saitenlaenge(x):Saitenlaenge(y)$

Beispiel: $Proportion(gr. Terz) = Proportion(\overrightarrow {a'cis''}) = Frequenz(cis''):Frequenz(a') = 550:440 = 5:4.$

Die Umrechnung von Intervallen zu Proportionen und umgekehrt erfolgt über die Exponentialfunktion und den Logarithmus zur Basis 2:

$\mathrm{Proportion}(i)= 2^\frac{i}{\mathrm{Oktave}}$

$\mathrm{Intervall}(p) = \log_2 (p)\,\mathrm{Oktave}$

Beispiel:

$\mathrm{Proportion}(3Oktave) = 2^\frac{3Oktave}{\mathrm{Oktave}} = 2^{3} = 8 = 8:1$.

$\mathrm{Intervall}(8) = \log_2 (8)\,\mathrm{Oktave} = 3Oktave = 3600 Cent$

$\mathrm{Intervall}(\frac {5} {4}) = \log_2 (\frac {5} {4})\,\mathrm{Oktave} \approx 0{,}3219 Oktave \approx 386 Cent$, wobei 1 Oktave = 1200 Cent.

Hinweis: Mit dem Taschenrechner rechnet man $\log_2 (x) = \frac {\log (x)} {\log (2)}$, also $\log_2 (\frac {5} {4}) = \frac {\log (\frac {5} {4})} {\log (2)}$.

Aus diesen Definitionen folgen Regeln, die die Addition und Subtraktion von Intervallen in die Multiplikation und Division ihrer Proportionen umwandeln:

$\mathrm{Proportion}(i + j) = \mathrm{Proportion}(i) \cdot \mathrm{Proportion}(j)$

$\mathrm{Proportion}(i - j) = \mathrm{Proportion}(i) \,:\, \mathrm{Proportion}(j)$

Beispiel:

$\mathrm{Proportion}(Quinte + Quarte) = \mathrm{Proportion}(Quinte) \cdot \mathrm{Proportion}(Quarte)$

$= \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{1} = \mathrm{Proportion}(Oktave)$

$\mathrm{Proportion}(\text{Quinte - Gr. Terz}) = \mathrm{Proportion}(Quinte) \,:\, \mathrm{Proportion}(Gr. Terz)$

$= \frac{3}{2} \,:\, \frac{5}{4} = \frac{6}{5} = \mathrm{Proportion}(\text {Kl. Terz})$

Wichtige Intervalle für den Aufbau von Tonsystemen werden traditionell über besonders einfache Proportionen definiert:

Wichtige Intervalle

Intervallname	Proportion p	Intervall i in Cent
Prime	$\tfrac{1}{1}$	$\mathrm{Intervall}(1) = 0\,\mathrm{Oktave}= 0\,\mathrm{Cent}$
Oktave	$\tfrac{2}{1}$	$\mathrm{Intervall}(2) = 1\,\mathrm{Oktave} =1200\,\mathrm{Cent}$
2Oktave	$\tfrac{4}{1}$	$\mathrm{Intervall}(4) = 2\,\mathrm{Oktave} =2400\,\mathrm{Cent}$
3Oktave	$\tfrac{8}{1}$	$\mathrm{Intervall}(8) = 3\,\mathrm{Oktave} =3600\,\mathrm{Cent}$
reine Quinte	$\tfrac{3}{2}$	$\mathrm{Intervall}(\frac{3}{2})\approx 0{,}585\,\mathrm{Oktave}\approx 702\,\mathrm{Cent}$
reine große Terz	$\tfrac{5}{4}$	$\mathrm{Intervall}(\frac{5}{4})\approx 0{,}322\,\mathrm{Oktave}\approx 386\,\mathrm{Cent}$
reine kleine Terz	$\tfrac{6}{5}$	$\mathrm{Intervall}(\frac{6}{5})\approx 0{,}263\,\mathrm{Oktave}\approx 316\,\mathrm{Cent}$

Physikalische Zusammenhänge

Die akustischen Bedeutungen der Proportion als Frequenzverhältnis oder Saiten-Längen-Verhältnis sind im Tonhöhenraum ebenfalls definierbar, und zwar für einen Bezugston x_P mit der Frequenz f_P oder der Saitenlänge L_P:

$\mathrm{Frequenz}(x) := \mathrm{Proportion}(\overrightarrow {x_Px}) \cdot f_P$

$\mathrm{L{\ddot a}nge}(x) := \mathrm{Proportion}(\overrightarrow {x x_P}) \cdot L_P$

Ist der Bezugston zum Beispiel a' mit der Frequenz $f_{a'} \!\ = 440 Hz$, dann ist

$\mathrm{Frequenz}(c'') := \mathrm{Proportion}(\overrightarrow {a'c''}) \cdot 440 Hz = Proportion (kl. Terz) \cdot 440 Hz =\frac {6} {5} \cdot 440 Hz = 528 Hz$

Aus diesen Definitionen ergeben sich wiederum Intervallproportionen als Längenverhältnisse oder reziproke Frequenzverhältnisse:

$\mathrm{Proportion}(\overrightarrow {xy}) = \mathrm{Frequenz}(y) : \mathrm{Frequenz}(x) = \mathrm{L{\ddot a}nge}(x) : \mathrm{L{\ddot a}nge}(y)$

Beispiele ausführlich

Intervalle der gleichstufigen Stimmung

Frequenzverhältnis	Intervallgröße in Cent	Intervallbezeichnung
1	0	Prim
$\sqrt[12]{2}$	100	gleichstufiger Halbton
$\sqrt[12]{2^2}$	200	gleichstufiger Ganzton
$\sqrt[12]{2^3}$	300	gleichstufige kleine Terz
$\sqrt[12]{2^4}$	400	gleichstufige große Terz
$\sqrt[12]{2^5}$	500	gleichstufige Quarte
$\sqrt[12]{2^6}$	600	gleichstufiger Tritonus
$\sqrt[12]{2^7}$	700	gleichstufige Quinte
$\sqrt[12]{2^8}$	800	gleichstufige kleine Sexte
$\sqrt[12]{2^9}$	900	gleichstufige große Sexte
$\sqrt[12]{2^{10}}$	1000	gleichstufige kleine Septime
$\sqrt[12]{2^{11}}$	1100	gleichstufige große Septime
2	1200	Oktave

Intervalle der pythagoreischen Stimmung

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der pythagoreischen Stimmung auftreten können. Berechnet wurde jedes der Intervall: [C]-[Cis], [C]-[Des*], [C]-[D], [C]-[Dis*], [C]-[Es], [C]-[E], ..., [Cis]-[Dis*], [Cis]-[Es], [Cis]-[E], [Cis]-[F], [Cis]-[Fis], ..., [Des*]-[Es], [Des*]-[E],..., [D]-[Dis*], [D]-[Es], [D]-[E], ... . Die Intervalle wurden dann Größe [in Cent] nach geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Bei der pythagoreischen Stimmung sind die Quinten der Folge [Ges*]-[Des*]-[As*]-[Es]-[B]-[F]-[C]-[G]-[D]-[A]-[E]-[H]-[Fis]-[Cis]-[Gis]-[Dis*]-[Ais*] rein (Frequenzverhältnis 3/2).

Hinweis: Die Töne [Ges*], [Des*], [As*], [Dis*] und [Ais*] sind auf einer 12-Stufigen Skala nicht vorhanden.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der zwei Grundintervalle des Quint-Terz-Systems darstellbar.

• ok = Oktave (Frequenzverhältnis 2/1)
• q = Quinte (Frequenzverhältnis 3/2).

Intervall	Frequenzverhältnis	in Cent	Berechnung	Intervallbezeichnung
[Cis]-[Des*]	524288/531441	-23,460	-12q+7ok	pythagoreische verminderte Sekunde = - pythagoreisches Komma[7]
[E]-[F]	256/243	90,225	-5q+3ok	pythagoreisches Limma=pythagoreische kleine Sekunde
[C]-[Cis]	2187/2048	113,685	7q-4ok	pythagoreische Apotome = pythagoreische übermäßige Prim
[Cis]-[Es]	65536/59049	180,450	-10q+6ok	pythagoreische verminderte Terz
[C]-[D]	9/8	203,910	2q-ok	großer Ganzton=pythagoreische Sekunde
[Des*]-[Dis*]	1570121/1376878	227,370	14q-8ok	pythagoreische doppelt übermäßige Prim <>
[Dis*]-[Ges*]	469571/401606	270,675	-15q+9ok	pythagoreische doppelt verminderte Quarte <>
[D]-[F]	32/27	294,135	-3q+2ok	pythagoreische kleine Terz
[Es]-[Fis]	19683/16384	317,595	9q-5ok	pythagoreische übermäßige Sekunde
[Cis]-[F]	8192/6561	384,360	-8q+5ok	pythagoreische verminderte Quarte <>
[C]-[E]	81/64	407,820	4q-2ok	pythagoreische große Terz = Ditonos
[Ges*]-[Ais*]	602409/469571	431,280	16q-9ok	pythagoreische doppelt übermäßige Sekunde <>
[Cis]-[Ges*]	2097152/1594323	474,585	-13q+8ok	pythagoreische doppelt verminderte Quinte <>
[C]-[F]	4/3	498,045	-q+ok	Quarte
[Es]-[Gis]	177147/131072	521,505	11q-6ok	pythagoreische übermäßige Terz
[E]-[B]	1024/729	588,270	-6q+4ok	pythagoreische verminderte Quinte
[C]-[Fis]	729/512	611,730	6q-3ok	pythagoreische übermäßige Quarte=pythagoreische Tritonus
[Gis]-[es]	262144/177147	678,495	-11q+7ok	pythagoreische verminderte Sexte
[C]-[G]	3/2	701,955	q	Quinte
[Es]-[Ais*]	1594323/1048576	725,415	13q-7ok	pythagoreische doppelt übermäßige Quarte
[Ais*]-[ges*]	939142/602409	768,720	-16q+10ok	pythagoreische doppelt verminderte Septime
[E]-[c]	128/81	792,180	-4q+3ok	pythagoreische kleine Sext
[C]-[Gis]	6561/4096	815,640	8q-4ok	pythagoreische übermäßige Quinte
[Cis]-[B]	32768/19683	882,405	-9q+6ok	pythagoreische verminderte Septime
[C]-[A]	27/16	905,865	3q-ok	pythagoreische große Sexte
[Des*]-[Ais*]	803212/469571	929,325	15q-8ok	pythagoreische doppelt übermäßige Quinte <>
[Dis*]-[des*]	1408713/803212	972,630	-14q+9ok	pythagoreische doppelt verminderte Oktave <>
[C]-[B]	16/9	996,090	-2q+2ok	pythagoreische kleine Septime
[Es]-[cis]	59049/32768	1019,550	10q-5ok	pythagoreische übermäßige Sexte
[Cis]-[c]	4096/2187	1086,315	-7q+5ok	pythagoreische verminderte Oktave
[C]-[H]	243/128	1109,775	5q-2ok	pythagoreische große Septime
[Cis]-[des*]	1048576/531441	1176,540	-12q+8ok	pythagoreische verminderte None (=ok-pythagoreische verminderte Sek)
[C]-(c)	2/1	1200	ok	Oktave

Intervalle der 1/4-Komma mitteltönigen Stimmung

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der mitteltönigen Stimmung auftreten können. Berechnet wurde jedes der Intervall: (C)-(Cis), (C)-(Des*), (C)-(D), (C)-(Dis*), (C)-(Es), (C)-(E), ..., (Cis)-(Dis*), (Cis)-(Es), (Cis)-(E), (Cis)-(F), (Cis)-(Fis), ..., (Des*)-(Es), (Des*)-(E),..., (D)-(Dis*), (D)-(Es), (D)-(E), ... . Die Intervalle wurden dann Größe (in Cent) nach geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Bei der 1/4-Komma mitteltönige Stimmung sind die Quinten der Folge (Ges*)-(Des*)-(As*)-(Es)-(B)-(F)-(C)-(G)-(D)-(A)-(E)-(H)-(Fis)-(Cis)-(Gis)-(Dis*)-(Ais*) um 1/4 des syntonischen Kommas (Frequenzverhältnis 81/80) tiefer als die reine Quinte gestimmt. Diese Quinten haben also das Frequenzverhältnis

$w= \frac {3}{2} \cdot { \sqrt[4]{\frac {80} {81}} } = \sqrt[4]{5}.$.

Hinweis: Die Töne (Ges*), (Des*), (As*), (Dis*) und (Ais*) sind auf einer 12-Stufigen Skala nicht vorhanden. Intervalle der Form zum Beispiel (Cis)-(Des*) vermitteln jedoch einen Eindruck, welche Unreinheiten bei enharmonischen Verwechslungen auftreten.

Das Frequenzverhältnis in der zweiten Spalte ist häufig irrational. Hier bedeutet

w= $\sqrt[4]{5}$ , w² = $\sqrt[4]{5^2}$ und w³ = $\sqrt[4]{5^3}$.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der zwei Grundintervalle des mitteltönig-Quinten-Systems darstellbar.

• ok=Oktave
• mq= mitteltönige Quinte.

Die Große Terz t=(C)-(E) ist hier darstellbar als t=4mq-2ok. Die jeweilige Berechnung erscheint in der 4. Spalte.

Intervall	Frequenzverhältnis	in Cent	Berechnung	Intervallbezeichnung
(Cis)-(Des*)	128/125	41,059	-12mq+7ok=-3t+ok	(größere) verminderte Sekunde =kleine Diesis
(C)-(Cis)	(5/16)w3	76,049	7mq-4ok=2t-mq	chromatischer mitteltöniger Halbton
(E)-(F)	(8/25)w3	117,108	-5mq+3ok=-t-mq+ok	diatonischer mitteltöniger Halbton
(Des*)-(Dis*)	(125/256)w2	152,098	14mq-8ok=4t-2mq	mitteltönige doppelt übermäßige Prim
(C)-(D)	(1/2)w2	193,157	2mq-ok	mitteltöniger Ganzton
(Cis)-(Es)	(64/125)w2	234,216	-10mq+6ok=-3t+2mq	mitteltönig verminderte Terz
(Es)-(Fis)	(25/32)w	269,206	9mq-5ok=2t+mq-ok	mitteltönige übermäßige Sekunde
(D)-(F)	(4/5)w	310,265	-3mq+2ok=-t+mq	mitteltönige kleine Terz
(Ges*)-(Ais*)	625/512	345,255	16mq-9ok=4t-ok	mitteltönig doppelt übermäßige Sekunde
(Dis*)-(Ges*)	(512/625)w	351,324	-15mq+9ok=-4t+mq+ok	mitteltönig doppelt verminderte Quarte
(C)-(E)	5/4	386,314	4mq-2ok=t	große Terz
(Cis)-(F)	32/25	427,373	-8mq+5ok=-2t+ok	verminderte Quarte
(Es)-(Gis)	(25/64)w3	462,363	11mq-6ok=3t-mq	mitteltönig übermäßige Terz
(C)-(F)	(2/5)w3	503,422	-mq+ok	mitteltönige Quarte
(Cis)-(Ges*)	(256/625)w3	544,480	-13mq+8ok=-3t-mq+2ok	mitteltönig doppelt verminderte Quinte
(F)-(H)	(5/8)w2	579,471	6mq-3ok=t+2mq-ok	mitteltönige übermäßige Quarte, mitteltönig Tritonus
(Cis)-(G)	(16/25)w2	620,529	-6mq+4ok=-2t+2mq	mitteltönige verminderte Quinte
(Des*)-(Gis)	(125/128)w	655,520	13mq-7ok=3t+mq-ok	mitteltönig doppelt übermäßige Quart
(C)-(G)	w	696,578	mq	mitteltönige Quinte
(Gis)-(es)	(128/125)w	737,637	-11mq+7ok=-3t+mq+ok	mitteltönig verminderte Sexte
(C)-(Gis)	25/16	772,627	8mq-4ok=2t	kleine übermäßige Quinte, Doppelterz
(E)-(c)	8/5	813,686	-4mq+3ok=-t+ok	kleine Sexte
(Des*)-(Ais*)	(125/256)w3	848,676	15mq-8ok=4t-mq	mitteltönig doppelt übermäßige Quinte
(Ais*)-(ges*)	1024/625	854,745	-16mq+10ok=4t+2ok	mitteltönige doppelt verminderte Septime
(C)-(A)	(1/2)w3	889,735	3mq-ok=t-mq+ok	mitteltönige große Sexte
(Cis)-(B)	(64/125)w3	930,794	-9mq+6ok=-2t-mq+2ok	mitteltönig verminderte Septime
(Es)-(cis)	(25/32)w2	965,784	10mq-5ok=2t+2mq-ok	mitteltönige übermäßige Sexte
(D)-(c)	(4/5)w2	1006,843	-2mq+2ok	mitteltönige kleine Septime
(Gis)-(ges*)	(512/625)w2	1047,902	-14mq+9ok=-4t+2mq+ok	mitteltönig doppelt verminderte Oktave
(C)-(H)	(5/4)w	1082,892	5mq-2ok=t+mq	mitteltönige große Septime
(Cis)-(c)	(32/25)w	1123,951	-7mq+5ok=-2t+mq+ok	mitteltönig verminderte Oktave
(Es)-(dis*)	125/64	1158,941	12mq-6ok=3t	übermäßige Septime
(C)-(c)	2/1	1200	ok	Oktave

Intervalle der reinen Stimmung

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über Intervalle, die bei der reinen Stimmung auftreten können. Berechnet wurde jedes der Intervall: C-Cis, C-Des, C-D, C-Dis, C-Es, C-E, ..., Cis-Dis, Cis-Es, Cis-E, Cis-F, Cis-Fis, ..., D-Dis, D-Es, D-E, ... . Die Intervalle wurden dann Größe (in Cent) nach geordnet. Bei gleichen Intervallen wurde nur ein Repräsentant ausgewählt.

Intervallreferenz ist C-Dur und C-Moll mit den reinen Akkorden C-E-G, C-Es-G, F-A-c, F-As-c, G-H-D und G-B-d, ergänzt um weitere Zwischentöne mit den diatonischen Halbtonschritten (Frequenzverhältnis 16/15) C-Des, Cis-D, Dis-E, F-Ges, Fis-G, Gis-A und Ais-H.

Jedes Intervall ist eindeutig als Summe der drei Grundintervalle des Quint-Terz-Systems darstellbar.

• ok=Oktave
• q=Quinte und
• t=große Terz.

Die jeweilige Berechnung erscheint in der 4. Spalte.

Intervall	Frequenzverhältnis	in Cent	Berechnung	Intervallbezeichnung
Cis-Des	2048/2025	19,553	-2t-4q+3ok	(kleinere) verminderte Sekunde, Diaschisma
Dis-Es	128/125	41,059	-3t+ok	(größere) verminderte Sekunde, kleine Diesis
D-Dis	25/24	70,672	2t-q	(kleinere) übermäßige Prim, kleiner chromatischer Halbton, kleines Chroma
C-Cis	135/128	92,179	t+3q-2ok	(größere) übermäßige Prim, großer chromatischer Halbton, großes Chroma
E-F	16/15	111,731	-t-q+ok	kleine Sekunde, diatonischer Halbton
A-B	27/25	133,238	-2t+3q-ok	(größere) kleine Sekunde, großes Limma,
Des-Dis	1125/1024	162,851	3t+2q-2ok	doppelt übermäßige Prim
D-E	10/9	182,404	t-2q+ok	kleiner Ganzton
C-D	9/8	203,910	2q-ok	großer (pythaogoreischer) Ganzton
E-Ges	256/225	223,463	-2t-2q+2ok	(kleinere) verminderte Terz
Gis-B	144/125	244,969	-3t+2q	(größere) verminderte Terz
C-Dis	75/64	274,582	2t+q-ok	übermäßige Sekunde
D-F	32/27	294,135	-3q+2ok	pythagoreische kleine Terz (unreine kleine Terz der II. Stufe)
C-Es	6/5	315,641	-t+q	kleine Terz
Ges-Ais	10125/8192	366,761	3t+4q-3ok	übermäßige Septime
Dis-Ges	4096/3375	335,194	-3t-3q+3ok	doppelt verminderte Quarte
C-E	5/4	386,314	t	große Terz
D-Ges	512/405	405,866	-t-4q+3ok	(kleinere) verminderte Quarte
A-cis	81/64	407,820	4q-2ok	pythagoreisch große Terz = Ditonos
E-As	32/25	427,373	-2t+ok	verminderte Quarte
Es-Gis	125/96	456,986	3t-q	(kleinere) übermäßige Terz
F-Ais	675/512	478,492	2t+3q-2ok	(größere) übermäßige Terz
C-F	4/3	498,045	-q+ok	Quarte
Cis-Ges	8192/6075	517,598	-2t-5q+4ok	doppelt verminderte Quinte
A-d	27/20	519,551	-t+3q-ok	unreine Quarte (In C-Dur II. Stufe a-d)
Dis-As	512/375	539,104	-3t-q+2ok	doppelt verminderte Quinte
D-Gis	25/18	568,717	2t-2q+ok	(kleinere) übermäßige Quarte
Ges-cis	6075/4096	682,402	2t+5q-3ok	doppelt verminderte Quarte
C-Fis	45/32	590,224	t+2q-ok	Tritonus, übermäßige Quarte
Fis-c	64/45	609,776	-t-2q+2ok	(kleinere) verminderte Quinte
A-es	36/25	631,283	-2t+2q	(größere) verminderte Quinte
Es-Ais	375/256	660,896	3t+q-ok	doppelt übermäßige Quarte
D-A	40/27	680,449	t-3q+2ok	unreine Quinte (In C-Dur d-a des Akkords der II.Stufe)
C-G	3/2	701,955	q	Quinte
H-ges	1024/675	721,508	-2t-3q+3ok	(kleinere) verminderte Sexte
Dis-B	192/125	743,014	-3t+q+ok	(größere) verminderte Sexte
C-Gis	25/16	772,627	2t	kleine übermäßige Quinte, Doppelterz
Cis-A	128/81	792,180	-4q+3ok	pythagoreische kleine Sexte
F-cis	405/256	794,134	t+4q-2ok	(größere) übermäßige Quinte
E-c	8/5	813,686	-t+ok	kleine Sexte
Ais-ges	16384/10125	833,239	-3t-4q+4ok	doppelt verminderte Septime
Des-Ais	3375/2048	864,806	3t+3q-2ok	doppelt übermäßige Quinte
C-A	5/3	884,359	t-q+ok	große Sexte
F-d	27/16	905,865	3q-ok	pyth. große Sexte (im II. Akkord)
E-des	128/75	925,418	-2t-q+2ok	(größere) verminderte Septime
B-gis	125/72	955,031	3t-2q+ok	(kleinere) übermäßige Sexte
C-Ais	225/128	976,537	2t+2q-ok	(größere) übermäßige Sexte
D-c	16/9	996,090	-2q+2ok	kleinere (pyth.)kleine Septime (Oktave - großer Ganzton)
C-B	9/5	1017,596	-t+2q	größere kleine Septime (Oktave - kleiner Ganzton)
Dis-des	2048/1125	1037,149	-3t-2q+3ok	doppelt verminderte Oktave
B-ais	125/64	1158,941	3t	übermäßige Septime
B-a	50/27	1066,762	2t-3q+2ok	(kleinere) große Septime
C-H	15/8	1088,269	t+q	große Septime
Cis-c	256/135	1107,821	-t-3q+3ok	(kleinere) verm. Oktave
Dis-d	48/25	1129,328	-2t+q+ok	(größere) verminderte Oktave
Des-cis	2025/1024	1180,447	2t+4q-2ok	(größere) überm. Septime
C-c	2/1	1200	ok	Oktave

Alle Intervalle der Größe nach geordnete Intervalle

Bezeichnungen:

[C]-[D]-[E]-[F]-... Pythagoreische Tonleiter

(C)-(D)-(E)-(F)-... 1/4-Komma mitteltönige Tonleiter

C-D-E-F-... Reine Tonleiter

• ok=Oktave (Frequenzverhältnis 2)
• q=Quinte (Frequenzverhältnis 3/2)
• mq=mitteltönige Quinte (Frequenzverhältnis w= $\sqrt[4]{5}$)
• t=große Terz (Frequenzverhältnis 5/4).

Intervalle	Frequenzverhältnis	in Cent	Berechnung	Intervallbezeichnung
C-c		0		Prim
		1,954	8q+t-5ok	Schisma = Differenz pythagoreisches und syntonisches Komma
Cis-Des	2048/2025	19,553	-2t-4q+3ok	(kleinere) verminderte Sekunde, Diaschisma
		21,506	4q-t-2ok	syntonisches Komma: Differenz d(C-dur) und d(F-dur)
[Des*]-[Cis]		23,460	12q-7ok	pythagoreisches Komma
(Cis)-(Des*)	128/125	41,059	-12mq+7ok	(größere) verminderte Sekunde = kleine Diesis (Differenz von Oktave zu 3 großen Terzen)
	648/625	62,565	4q-4t-ok	große Diesis = Differenz von vier kleinen Terzen zur Oktave
D-Dis	25/24	70,672	2t-q	(kleinere) übermäßige Prim, kleiner chromatischer Halbton, kleines Chroma
(C)-(Cis)	(5/16)w3	76,049	7mq-4ok	chromatischer mitteltöniger Halbton
[E]-[F]	256/243	90,225	-5q+3ok	pythagoreisches Limma=pythagoreische kleine Sekunde
C-Cis	135/128	92,179	t+3q-2ok	(größere) übermäßige Prim, großer chromatischer Halbton, großes Chroma
		100	(1/12)ok	kleine gleichstufige Sekunde
E-F	16/15	111,731	-t-q+ok	kleine Sekunde, diatonischer Halbton
[C]-[Cis]	2187/2048	113,685	7q-4ok	pythagoreische Apotome = pythagoreische übermäßige Prim
(E)-(F)	(8/25)w3	117,108	-5mq+3ok	diatonischer mitteltöniger Halbton
A-B	27/25	133,238	-2t+3q-ok	(größere) kleine Sekunde, großes Limma,
(Des*)-(Dis*)	(125/256)w2	152,098	14mq-8ok	mitteltönige doppelt übermäßige Prim
Des-Dis	1125/1024	162,851	3t+2q-2ok	doppelt übermäßige Prim
[Cis]-[Es]	65536/59049	180,450	-10q+6ok	pythagoreische verminderte Terz
D-E	10/9	182,404	t-2q+ok	kleiner Ganzton
(C)-(D)	(1/2)w2	193,157	2mq-ok	mitteltöniger Ganzton
		200	(2/12)ok	große gleichstufige Sekunde
C-D	9/8	203,910	2q-ok	großer Ganzton
[C]-[D]	9/8	203,910	2q-ok	großer Ganzton=pythagoreische Sekunde
E-Ges	256/225	223,463	-2t-2q+2ok	(kleinere) verminderte Terz
[Des*]-[Dis*]	1570121/1376878	227,370	14q-8ok	pythagoreische doppelt übermäßige Prim <>
(Cis)-(Es)	(64/125)w2	234,216	-10mq+6ok	mitteltönig verminderte Terz
Gis-B	144/125	244,969	-3t+2q	(größere) verminderte Terz
(Es)-(Fis)	(25/32)w	269,206	9mq-5ok	mitteltönige übermäßige Sekunde
[Dis*]-[Ges*]	469571/401606	270,675	-15q+9ok	pythagoreische doppelt verminderte Quarte <>
C-Dis	75/64	274,582	2t+q-ok	übermäßige Sekunde
D-F	32/27	294,135	-3q+2ok	pythagoreische kleine Terz (unreine kleine Terz der II. Stufe)
[D]-[F]	32/27	294,135	-3q+2ok	pythagoreische kleine Terz
		300	(3/12)ok	kleine gleichstufige Terz
(D)-(F)	(4/5)w	310,265	-3mq+2ok	mitteltönige kleine Terz
C-Es	6/5	315,641	-t+q	kleine Terz
[Es]-[Fis]	19683/16384	317,595	9q-5ok	pythagoreische übermäßige Sekunde
Dis-Ges	4096/3375	335,194	-3t-3q+3ok	doppelt verminderte Quarte
(Ges*)-(Ais*)	625/512	345,255	16mq-9ok	mitteltönig doppelt übermäßige Sekunde
(Dis*)-(Ges*)	(512/625)w	351,324	-15mq+9ok	mitteltönig doppelt verminderte Quarte
Ges-Ais	10125/8192	366,761	3t+4q-3ok	übermäßige Septime
[Cis]-[F]	8192/6561	384,360	-8q+5ok	pythagoreische verminderte Quarte <>
(C)-(E)	5/4	386,314	4mq-2ok	große Terz
C-E	5/4	386,314	t	große Terz
		400	(4/12)ok	große gleichstufige Terz
D-Ges	512/405	405,866	-t-4q+3ok	(kleinere) verminderte Quarte
A-cis	81/64	407,820	4q-2ok	pythagoreisch große Terz = Ditonos
[C]-[E]	81/64	407,820	4q-2ok	pythagoreische große Terz = Ditonos
(Cis)-(F)	32/25	427,373	-8mq+5ok	verminderte Quarte
E-As	32/25	427,373	-2t+ok	verminderte Quarte
[Ges*]-[Ais*]	602409/469571	431,280	16q-9ok	pythagoreische doppelt übermäßige Sekunde <>
Es-Gis	125/96	456,986	3t-q	(kleinere) übermäßige Terz
(Es)-(Gis)	(25/64)w3	462,363	11mq-6ok	mitteltönig übermäßige Terz
[Cis]-[Ges*]	2097152/1594323	474,585	-13q+8ok	pythagoreische doppelt verminderte Quinte <>
F-Ais	675/512	478,492	2t+3q-2ok	(größere) übermäßige Terz
C-F	4/3	498,045	-q+ok	Quarte
[C]-[F]	4/3	498,045	-q+ok	Quarte
		500	(5/12)ok	gleichstufige Quarte
(C)-(F)	(2/5)w3	503,422	-mq+ok	mitteltönige Quarte
Cis-Ges	8192/6075	517,598	-2t-5q+4ok	doppelt verminderte Quinte
A-d	27/20	519,551	-t+3q-ok	unreine Quarte (In C-Dur II. Stufe a-d)
[Es]-[Gis]	177147/131072	521,505	11q-6ok	pythagoreische übermäßige Terz
Dis-As	512/375	539,104	-3t-q+2ok	doppelt verminderte Quinte
(Cis)-(Ges*)	(256/625)w3	544,480	-13mq+8ok	mitteltönig doppelt verminderte Quinte
D-Gis	25/18	568,717	2t-2q+ok	(kleinere) übermäßige Quarte
(F)-(H)	(5/8)w2	579,471	6mq-3ok	mitteltönige übermäßige Quarte, mitteltönig Tritonus
[E]-[B]	1024/729	588,270	-6q+4ok	pythagoreische verminderte Quinte
C-Fis	45/32	590,224	t+2q-ok	Tritonus, übermäßige Quarte
		600	(6/12)ok	übermäßige gleichstufige Quarte, verminderte gleichstufige Quinte
Fis-c	64/45	609,776	-t-2q+2ok	(kleinere) verminderte Quinte
[C]-[Fis]	729/512	611,730	6q-3ok	pythagoreische übermäßige Quarte=pythagoreische Tritonus
(Cis)-(G)	(16/25)w2	620,529	-6mq+4ok	mitteltönige verminderte Quinte
A-es	36/25	631,283	-2t+2q	(größere) verminderte Quinte
(Des*)-(Gis)	(125/128)w	655,520	13mq-7ok	mitteltönig doppelt übermäßige Quart
Es-Ais	375/256	660,896	3t+q-ok	doppelt übermäßige Quarte
[Gis]-[es]	262144/177147	678,495	-11q+7ok	pythagoreische verminderte Sexte
D-A	40/27	680,449	t-3q+2ok	unreine Quinte (In C-Dur d-a des Akkords der II.Stufe)
Ges-cis	6075/4096	682,402	2t+5q-3ok	doppelt verminderte Quarte
(C)-(G)	w	696,578	mq	mitteltönige Quinte
		700	(7/12)ok	gleichstufige Quinte
C-G	3/2	701,955	q	Quinte
[C]-[G]	3/2	701,955	q	Quinte
H-ges	1024/675	721,508	-2t-3q+3ok	(kleinere) verminderte Sexte
[Es]-[Ais*]	1594323/1048576	725,415	13q-7ok	pythagoreische doppelt übermäßige Quarte <>
(Gis)-(es)	(128/125)w	737,637	-11mq+7ok	mitteltönig verminderte Sexte
Dis-B	192/125	743,014	-3t+q+ok	(größere) verminderte Sexte
[Ais*]-[ges*]	939142/602409	768,720	-16q+10ok	pythagoreische doppelt verminderte Septime
(C)-(Gis)	25/16	772,627	8mq-4ok	kleine übermäßige Quinte, Doppelterz
C-Gis	25/16	772,627	2t	kleine übermäßige Quinte, Doppelterz
Cis-A	128/81	792,180	-4q+3ok	pythagoreische kleine Sexte
[E]-[c]	128/81	792,180	-4q+3ok	pythagoreische kleine Sext
F-cis	405/256	794,134	t+4q-2ok	(größere) übermäßige Quinte
		800	(8/12)ok	kleine gleichstufige Sexte
(E)-(c)	8/5	813,686	-4mq+3ok	kleine Sexte
E-c	8/5	813,686	-t+ok	kleine Sexte
[C]-[Gis]	6561/4096	815,640	8q-4ok	pythagoreische übermäßige Quinte
Ais-ges	16384/10125	833,239	-3t-4q+4ok	doppelt verminderte Septime
(Des*)-(Ais*)	(125/256)w3	848,676	15mq-8ok	mitteltönig doppelt übermäßige Quinte
(Ais*)-(ges*)	1024/625	854,745	-16mq+10ok	mitteltönige doppelt verminderte Septime
Des-Ais	3375/2048	864,806	3t+3q-2ok	doppelt übermäßige Quinte
[Cis]-[B]	32768/19683	882,405	-9q+6ok	pythagoreische verminderte Septime
C-A	5/3	884,359	t-q+ok	große Sexte
(C)-(A)	(1/2)w3	889,735	3mq-ok	mitteltönige große Sexte
		900	(9/12)ok	große gleichstufige Sexte
F-d	27/16	905,865	3q-ok	pythagoreische große Sexte (im II. Akkord)
[C]-[A]	27/16	905,865	3q-ok	pythagoreische große Sexte
E-des	128/75	925,418	-2t-q+2ok	(größere) verminderte Septime
[Des*]-[Ais*]	803212/469571	929,325	15q-8ok	pythagoreische doppelt übermäßige Quinte <>
(Cis)-(B)	(64/125)w3	930,794	-9mq+6ok	mitteltönig verminderte Septime
B-gis	125/72	955,031	3t-2q+ok	(kleinere) übermäßige Sexte
(Es)-(cis)	(25/32)w2	965,784	10mq-5ok	mitteltönige übermäßige Sexte
[Dis*]-[des*]	1408713/803212	972,630	-14q+9ok	pythagoreische doppelt verminderte Oktave <>
C-Ais	225/128	976,537	2t+2q-ok	(größere) übermäßige Sexte
D-c	16/9	996,090	-2q+2ok	pythagoreische kleine Septime
[C]-[B]	16/9	996,090	-2q+2ok	pythagoreische kleine Septime
		1000	(10/12)ok	kleine gleichstufige Septime
(D)-(c)	(4/5)w2	1006,843	-2mq+2ok	mitteltönige kleine Septime
C-B	9/5	1017,596	-t+2q	kleine Septime
[Es]-[cis]	59049/32768	1019,550	10q-5ok	pythagoreische übermäßige Sexte
Dis-des	2048/1125	1037,149	-3t-2q+3ok	doppelt verminderte Oktave
(Gis)-(ges*)	(512/625)w2	1047,902	-14mq+9ok	mitteltönig doppelt verminderte Oktave
B-a	50/27	1066,762	2t-3q+2ok	(kleinere) große Septime
(C)-(H)	(5/4)w	1082,892	5mq-2ok	mitteltönige große Septime
[Cis]-[c]	4096/2187	1086,315	-7q+5ok	pythagoreische verminderte Oktave
C-H	15/8	1088,269	t+q	große Septime
		1100	(11/12)ok	große gleichstufige Septime
Cis-c	256/135	1107,821	-t-3q+3ok	(kleinere) verminderte Oktave
[C]-[H]	243/128	1109,775	5q-2ok	pythagoreische große Septime
(Cis)-(c)	(32/25)w	1123,951	-7mq+5ok	mitteltönig verminderte Oktave
Dis-d	48/25	1129,328	-2t+q+ok	(größere) verminderte Oktave
(Es)-(dis*)	125/64	1158,941	12mq-6ok	übermäßige Septime
B-ais	125/64	1158,941	3t	übermäßige Septime
[Cis]-[des*]	1048576/531441	1176,540	-12q+8ok	pythagoreische verminderte None (=ok-pythagoreische verminderte Sek)
Des-cis	2025/1024	1180,447	2t+4q-2ok	(größere) überm. Septime
C-c	2/1	1200	ok	Oktave

Weblinks

• Mathematische Beschreibung von Tonsystemen, Joachim Mohr
• Auflistung aller pythagoreischen, mitteltönigen und reinen Intervalle von C-Cis bis h-c, Joachim Mohr

Anmerkungen

1. ↑ Die Struktur unseres Anschauungsraumes kann ähnlich mathematisch beschrieben werden. Man hat einerseits die Punkte des Raumes, andererseits die Vektoren, mit denen gerechnet wird. Siehe: affiner Raum.
2. ↑ Rudolf Wille schreibt in seinem Aufsatz Mathematik und Musiktheorie. In: Musik und Zahl Bonn -Bad Godesberg 1976, S. 233–264 über die Nützlichkeit der Mathematik für die Musik:
   • Mit Hilfe der Mathematik kann man musikalische Begriffe präzisieren und Unklarheiten und Missverständnis vermeiden, die ungenau gefasste Begriffe mit sich bringen.
   • Gerade mit der neueren Mathematik ist es möglich, musikalische Sachverhalte wesentlich einfacher und genauer wiederzugeben, als dies früher möglich war.
   • Komplizierte Zusammenhänge werden durchschaubar.
   Wilfried Neumaier zeigt in seiner Dissertation Was ist ein Tonsystem. In: Quellen und Studien zur Musikgeschichte von der Antike bis in die Gegenwart. Nr.9, Verlag Peter Lang. Frankfurth a.M/Bern/New York 1986, dass man mit Tonstrukturen historische Tonsysteme sehr gut vergleichen kann.
3. ↑ Aus Vereinfachungsgründen ist hier der Tonvorrat nach oben und nach unten nicht beschränkt.
4. ↑ Wir müssen hier noch axiomatisch voraussetzen, dass die Oktave verschieden von der Prim ist.
5. ↑ Dabei ist $r \cdot Ok \text { und Cent}$ nur eine rechnerische Größe, die nicht zum vorgegebenen Intervallraum gehören muss. Genauer: Das Quint-Terzsystem zum Beispiel wird als Unterraum des erweiterten Tonraums {$r \cdot Ok| r \in \mathbb{R}$} betrachtet.
6. ↑ Für viele Intervalle i gibt es keine natürlichen Zahlen z und n mit

   $i = \frac {z} {n} \cdot Ok.$.

   Dies ist zum Beispiel für die Quinte mit dem Frequenzverhältnis ³/₂ der Fall: Es gibt keine Zahlen $z \text{ und } n \in \N$ mit

   $(\frac {3}{2}) = 2^\frac{z}{n}.$

   Man kann jedoch mit geeigneten $z \text { und n } \in \N$ erreichen, dass für $r = \frac {z} {n}$ die Annäherung

   $\frac {3}{2} \approx 2^r$ immer besser wird.

   Mathematisch exakt wird dies folgendermaßen ausgedrückt:

   $r = sup \{ \frac {z}{n} |z \in \Z, n \in \N, z \cdot Ok < n \cdot i \}$,

   $r = sup \{ \frac {z}{n} |z \in \Z, n \in \N, 2^z < q^n \}$ oder

   $r = sup \{ \frac {z}{n} |z \in \Z, n \in \N, 2^\frac {z}{n} < q \} = log_2 (q). Hinweis: 2^r = q\ <=> r = log_2 q .$

   Da der Intervallraum eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe ist, ist nach dem Satz von Hölder die Abbildung $i -> sup \{ \frac {z}{n} |z \in \Z, n \in \N, z \cdot Ok < n \cdot i \}$ ein Isomophismus des Intervallraums in eine additive geordnete Untergruppe von $\R$.
7. ↑ Im Gegensatz zur reinen oder mitteltönigen Stimmung ist in der pythagoreischen Stimmung der Ton [Cis] höher als [Des] oder - besser bekannt - [His] höher als [c]. Um von [Cis] nach [Des] zu gelangen, bzw. von [His] nach [c] muß man 12 Quinten nach unten und 7 Oktaven nach oben. Das pythagoreische Komma erhält man bekanntlich als Intervall = 12 Quinten nach oben und 8 Oktaven nach unten.