Gleichstufige Stimmung

Die gleichstufige Stimmung ist ein Stimmungssystem, bei dem alle zwölf Halbtonschritte einer Oktave die gleiche Größe (100 Cent) haben. Andere Bezeichnungen sind: gleichtemperierte/gleichschwebende Stimmung oder gleichschwebende Temperatur. Die umgangssprachlich oft verwendete Bezeichnung temperierte Stimmung ist zu ungenau, da die gleichstufige eine spezielle Form der temperierten Stimmung ist.

Während eine reine Stimmung nicht für alle Tonarten mit einer in zwölf Tonstufen aufgeteilten Oktave verwirklicht werden kann, sorgt die gleichstufige Stimmung dafür, dass die unvermeidlichen Unreinheiten möglichst gleichmäßig auf alle Tonstufen verteilt werden, so dass alle Tonarten gleich brauchbar sind, was in früheren Stimmungssystemen nicht der Fall war und die Möglichkeit der Modulationen stark einschränkte. Der individuelle Charakter einzelner Tonarten der früheren mitteltönigen oder wohltemperierten Stimmungen geht dabei allerdings verloren.

Das in der westlichen Musik vorherrschende gleichstufige Stimmungssystem ist besonders wichtig für Musikinstrumente wie Klavier oder Orgel, die nur mit hohem Aufwand umgestimmt werden können. Andere Instrumente, wie Streich- oder Blasinstrumente, können dagegen durchaus rein intonieren, wobei der Spieler dann von Fall zu Fall die systembedingten Unreinheiten durch geringfügige Anpassung der Tonhöhe ausgleichen kann.

Stimmungen mit temperierten Intervallen

Bei Tasteninstrumenten, wie Orgel, Cembalo oder Klavier, ist die Tonhöhe eines jeden Tones unveränderbar festgelegt. Je nachdem, in welchem harmonischen Zusammenhang ein Ton gespielt wird, müsste dieser aber eigentlich eine leicht unterschiedliche Tonhöhe haben, um in einem Akkord rein (schwebungsfrei) zu erklingen. Beispielsweise entspricht der Ton Gis nicht dem Ton As, und dieses Problem besteht letztlich bei allen Tönen einer Tonleiter, je nachdem, in welchem harmonischen Zusammenhang man sie gebraucht. Für solche Instrumente wurde deshalb eine Temperierung erforderlich, die zunächst in den mitteltönigen Stimmungen und dann in den wohltemperierten Stimmungen verwirklicht wurde. Merkmal all dieser Temperierungen ist es, dass sie auf Grund musikalischer Gesichtspunkte entwickelt wurden. Die exakte Lage aller zwölf Halbtöne wird bei mitteltöniger oder wohltemperierter Stimmung so ermittelt, dass einige Tonarten bzw. Akkorde reiner klingen, andere, meist die seltener gebräuchlichen, unreiner klingen.

Allein bei der mathematisch ermittelten gleichstufigen Stimmung klingen alle Tonarten gleich (unrein).^[1]

Intervalle in der gleichstufigen Stimmung

Bei der gleichtemperierten Stimmung wird die Oktave in zwölf identische Halbton-Schritte mit dem Frequenzverhältnis

$\frac{f_2}{f_1} = \sqrt[12] \tfrac 2 1 \approx 1{,}0594630943593 \,$ (entspricht 100 Cent) aufgeteilt.

Dadurch wird das Pythagoreische Komma ausgeglichen, das bei zwölf hintereinander ausgeführten reinen Quinten (zum Beispiel C-G-D-A-E-H-Fis-Cis-Gis-Dis-Ais-Eis-His) auftritt. Diese Quinten sind nun alle um 1/12 dieses Kommas tiefer gestimmt, so dass die offene Quintenspirale sich zum Quintenzirkel schließt. Im Vergleich zur pythagoreischen (der quintenreinen) Stimmung mit der reinen Quinte von 702 Cent hat die gleichstufige Stimmung eine nur geringfügig verkleinerte Quinte von 700 Cent. Die große Terz (386 Cent) der reinen Stimmung wird bei der gleichstufigen Stimmung (400 Cent) immerhin um 14 Cent erhöht („geschärft“).

Ein derart gestimmtes Instrument enthält außer der Oktave kein einziges „ideales“, d. h. in einem einfach ganzzahligen Frequenzverhältnis rein gestimmtes Intervall mehr, und die Abweichungen sind auch durchaus hörbar. In der heutigen Musikwahrnehmung wird das jedoch allgemein als akzeptabel empfunden (Gewöhnungseffekt).

Geschichte

Geometrische Darstellung der gleichstufigen Stimmung aus Sopplimenti musicali (1588) von Gioseffo Zarlino

Die gleichstufige Stimmung konnte erstmals 1584 von Chu Tsai-yü ( 朱載堉 ) in China mit Hilfe eines Systems neunstelliger Zahlen ziemlich genau berechnet werden. In Europa wurden diese Berechnungen allerdings erst 1799 bekannt, ohne dass Chu Tsai-yü namentlich genannt wurde. 1588 bot Gioseffo Zarlino eine exakte geometrische Darstellung. Simon Stevin beschrieb als erster Europäer in Vande Spiegheling der Singconst (Manuskript um oder vor 1600) eine weitgehende Annäherung mit Hilfe eines von ihm entwickelten Verfahrens zur Wurzelberechnung, meinte allerdings fälschlicherweise, dabei natürliche große Terzen zu gewährleisten.

Als gleichstufig bezeichnete Lautenstimmungen des 16. Jahrhunderts fußten, wie von Vincenzo Galilei praktiziert, meistens auf dem Halbton mit dem Verhältnis 18:17 (etwa 99 Cent).

Vor allem im 17. Jahrhundert wurde die gleichstufige Stimmung nicht nur von Theoretikern wie z. B. Pietro Mengoli und Marin Mersenne, sondern auch von Komponisten, Instrumentenbauern und ausübenden Musikern diskutiert. Das belegt beispielsweise eine Auseinandersetzung über Stimmungen zwischen Giovanni Artusi und Claudio Monteverdi kurz nach 1600. Girolamo Frescobaldi empfahl die gleichstufige Stimmung für die Orgel in der Basilica S. Lorenzo in Damaso.

Im deutschen Sprachraum verwendete man für gleichstufig den Begriff gleichschwebend, so Andreas Werckmeister 1707 in Musikalische Paradoxal-Discourse: „ … wenn die Temperatur also eingerichtet wird/daß alle Quinten 1/12 Commat: … schweben, und ein accurates Ohr dieselbe auch zum Stande zu bringen und zu stimmen weiß/so dann gewiß eine wohltemperirte Harmonia, durch den gantzen Circul und durch alle Clavis sich finden wird.“ Werckmeister meint damit ausdrücklich nicht, dass die Schwebungsfrequenzen gleich seien. Die von ihm angesprochene Schwierigkeit, gleichstufig zu stimmen, kann z. B. ein Klavierstimmer gerade dadurch meistern, dass er die unterschiedlichen Schwebungsfrequenzen der Quinten in den verschieden hohen Lagen des Klavieres kennt und zum Stimmen nutzt.

Die praktische Bedeutung blieb indes bis ins 18. Jahrhundert gering. Es mehrten sich aber die Befürworter der gleichstufigen Stimmung, zu denen z. B. Jean-Philippe Rameau und Friedrich Wilhelm Marpurg gehörten. Bis gegen Ende des 18. Jahrhunderts gewann die gleichstufige Stimmung die Oberhand gegenüber ungleichstufigen Stimmungen und setzte sich im 19. Jahrhundert endgültig durch.

Damit verloren allerdings die Tonarten-Charaktere für neue Kompositionen an Bedeutung, weil verschiedene Tonarten in dieser Hinsicht nicht mehr unterschiedlich klangen. Beim Aufführen älterer Werke auf gleichstufig gestimmten Instrumenten gehen aus demselben Grund häufig wesentliche künstlerische Aspekte der Komposition verloren, so setzten beispielsweise ältere Komponisten zu ihrer Zeit gerne schlecht klingende „unmögliche“ Tonarten ein, um negative Sachverhalte wie Schmerz oder Sünde klanglich erlebbar zu machen.

Heute werden Instrumente mit festen Tonhöhen, wie das Klavier oder die Gitarre, standardmäßig gleichstufig gestimmt. Viele Orgeln und Cembali aber werden historisierend mit anderen, ungleichstufigen Stimmungen versehen.

Quantitative Aspekte der gleichstufigen Stimmung

Frequenzberechnung

Zusammenhang von Frequenz, Halbton und Oktave bei logarithmischer Darstellung

Die mathematische Vorschrift zur Bestimmung der Töne auf der gesamten Tonleiter der gleichstufigen Stimmung lautet

$f(i) = f_0 \cdot 2^{i/12} \,$,

wobei f₀ die Frequenz eines beliebigen Ausgangstons (z. B. die Frequenz des Kammertons a’ mit 440 Hz) ist. i ist die Halbtonschritt-Entfernung zu dem gewählten Ton mit der Frequenz f₀. Eine solche mathematische Folge nennt man geometrische Folge. Man erhält bei einer linearen Auftragung der Frequenz über den Tonnamen eine halblogaritmische Skala, hier allerdings nicht mit dem Zehner- sondern dem Zweierlogarithmus.

Möchte man beispielsweise die Frequenz des Tones g’ bestimmen, so zählt man seine Halbtonschritt-Entfernung vom Kammerton a’ ab (i = minus 2, da man nach unten zählt), und setzt die Werte in die Gleichung ein:

$f(-2) = 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^{-2/12} \approx 391{,}995\,\mathrm{Hz} \,$

für den Ton g’’ erhält man entsprechend einen Halbtonabstand zu f₀ von i = 10:

$f(10) = 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^{10/12} \approx 783{,}991\,\mathrm{Hz} \,$

Wie man sieht, besitzt g’’ die doppelte Frequenz wie g’. Die Oktavenreinheit bleibt also gewahrt, wogegen alle anderen Intervalle geringfügig unrein sind.

Frequenzen und Centwerte

Beim Vergleich von Intervallen verwendet man die Einheit Cent. Dabei gilt: 1 Oktave = 1200 Cent.

Vergleich der Frequenzen der reinen Stimmung und der gleichstufigen Stimmung

Chromatische Skala der reinen Stimmung von C-Dur und C-moll ergänzt um fis und des:
Name des Tones	c	des	d	es	e	f	fis	g	as	a	b	h	c
Frequenz	264	281,6	297	316,8	330	352	371,25	396	422,4	440	475,2	495	528
In Cent	0	112	204	316	386	498	590	702	814	884	1018	1088	1200
Chromatische Skala der gleichstufigen Stimmung:
Name des Tones	c	cis/des	d	dis/es	e	f	fis/ges	g	gis/as	a	ais/b	h	c
Frequenz	261,6	277,2	293,7	311,1	329,6	349,2	370	392	415,3	440	466,2	493,9	523,3
In Cent	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1100	1200

Intervall	Gleichstufig temperiertes Intervall	In Cent	Reines Intervall	In Cent	Differenz in Cent
Prime	$\sqrt[12]{2^0} = 1$	0 Cent	$\tfrac{1}{1} = 1$	0 Cent	0 Cent
Kleine Sekunde	$\sqrt[12]{2^1} = \sqrt[12]{2} \approx 1{,}059463$	100 Cent	$\tfrac{16}{15} \approx 1{,}066667$	111,73 Cent	-11,73 Cent
Große Sekunde	$\sqrt[12]{2^2} = \sqrt[6]{2} \approx 1{,}122462$	200 Cent	$\tfrac{9}{8} = 1{,}125$ $\tfrac{10}{9} \approx 1{,}111111$	203,91 Cent 182,40 Cent	-3,91 Cent 17,60 Cent
Kleine Terz	$\sqrt[12]{2^3} = \sqrt[4]{2} \approx 1{,}189207$	300 Cent	$\tfrac{6}{5} = 1{,}2$	315,64 Cent	-15,64 Cent
Große Terz	$\sqrt[12]{2^4} = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}259921$	400 Cent	$\tfrac{5}{4} = 1{,}25$	386,31 Cent	13,69 Cent
Quarte	$\sqrt[12]{2^5} = \sqrt[12]{32} \approx 1{,}334840$	500 Cent	$\tfrac{4}{3} \approx 1{,}333333$	498,04 Cent	1,96 Cent
übermäßige Quarte Tritonus *	$\sqrt[12]{2^6} = \sqrt{2} \approx 1{,}414214$	600 Cent	$\tfrac{45}{32} = 1{,}40625$	590,22 Cent	9,78 Cent
Quinte	$\sqrt[12]{2^7} = \sqrt[12]{128} \approx 1{,}498307$	700 Cent	$\tfrac{3}{2} = 1{,}5$	701,96 Cent	-1,96 Cent
Kleine Sexte	$\sqrt[12]{2^8} = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}587401$	800 Cent	$\tfrac{8}{5} = 1{,}6$	813,69 Cent	-13,69 Cent
Große Sexte	$\sqrt[12]{2^9} = \sqrt[4]{8} \approx 1{,}681793$	900 Cent	$\tfrac{5}{3} \approx 1{,}666667$	884,36 Cent	15,64 Cent
Kleine Septime	$\sqrt[12]{2^{10}} = \sqrt[6]{32} \approx 1{,}781797$	1000 Cent	$\tfrac{16}{9} \approx 1{,}777778$     $\tfrac{9}{5} = 1{,}8$	996,09 Cent 1017,60 Cent	3,91 Cent -17,60 Cent
Große Septime	$\sqrt[12]{2^{11}} = \sqrt[12]{2048} \approx 1{,}887749$	1100 Cent	$\tfrac{15}{8} = 1{,}875$	1088,27 Cent	11,73 Cent
Oktave	$\sqrt[12]{2^{12}} = 2$	1200 Cent	$\tfrac{2}{1} = 2$	1200 Cent	0 Cent
Anmerkungen: Ist die Differenz negativ, so ist das gleichtemperierte Intervall enger als das reine. * Tritonus (Übermäßige Quarte), definiert als: Große Terz (Frequenzverhältnis 5/4) plus Große Sekunde (Frequenzverhältnis 9/8) = Quinte (Frequenzverhältnis 3/2) minus diatonischer Halbton (Frequenzverhältnis 16/15). Die übermäßige Quarte (zum Beispiel C-Fis oder Ges-C, Frequenzverhältnis 45/32 entsprechend 590 Cent) ist in reiner Stimmung kleiner als die verminderte Quinte (zum Beispiel Fis-C oder C-Ges, Frequenzverhältnis 64/45 entsprechend 610 Cent). In gleichstufiger Stimmung sind jedoch beide gleich der Hälfte einer Oktave (600 Cent). Bemerkung zur großen Sekunde und kleinen Septime: In der reinen Stimmung gibt es die zwei Ganztöne mit den Frequenzverhältnissen 9/8 und 10/9. Entsprechend gibt es zwei kleine Septimen mit den Frequenzverhältnissen 2:9/8 = 16/9 und 2:10/9 = 9/5.

Sonderformen

Die Einteilung der Oktave in zwölf Töne mit gleichem Frequenzverhältnis zu ihren Nachbartönen ist zwar die gebräuchlichste, aber nicht die einzige Möglichkeit, um sich reinen Intervallen anzunähern. Mit mehr Tönen pro Oktave lassen sich bessere Näherungen erreichen. Gleichstufige Einteilungen, die tatsächlich Verwendung gefunden haben, sind z. B.:

• neunzehnstufiges Tonsystem
• einungdreißigstufiges Tonsystem von 1606
• Vierteltonsystem

In der Neuen Musik des 20. und 21 Jahrhunderts wurde und wird mit zahlreichen gleichstufigen (und anderen) Tonsytemen experimentiert, wobei die Oktave etwa in 17, 19, 31, 53, 72 gleiche Schritte unterteilt wird.

Gelegentlich werden auch andere Intervalle als die Oktave unterteilt. So kreiert z. B. Karlheinz Stockhausen für seine elektronische Studie II von 1952 ein Tonsystem, das auf der Einteilung eines Intervalls mit dem Frequenzverhältnis 5/1 in 25 gleiche Stufen basiert. Da die Stufenabstände geringfügig größer sind als der traditionelle temperierte Halbton, entsteht ein Tonsystem, das zur Erzeugung (unharmonischer) Tongemische geeignet ist.

Siehe auch

• Reine Stimmung Dort Hörbeispiele: Vergleich reine Stimmung und gleichstufige Stimmung
• Cent (Musik) Weitere Tabellen im Abschnitt Die Verwendung von Cent in der Musiktheorie
• Frequenzen der gleichstufigen Stimmung
• Quintenzirkel

Einzelnachweise

1. ↑ Alexander J. Ellis schreibt dazu 1864, dass Gleichstufige Stimmung so schwierig zu realisieren ist, dass sie wohl nie (damals) erreicht wurde. Tatsächlich konnte man diese Stimmung exakt erst mit physikalischen Methoden 1917 verwirklichen (Nach Owen Jorgensen, "Tuning", East Lansing, Mich., 1991). Beides zitiert bei: Ross W. Duffin "How Equal Temperament Ruines Harmony" Verlag W.W.Norton&Company, New York • London, 2007, S. 112)

Literatur

• Mark Lindley: Stimmung und Temperatur, in: Frieder Zaminer (Hrsg.): Geschichte der Musiktheorie, Bd. 6. Hören Messen und Rechnen in der frühen Neuzeit, S. 109-332, Darmstadt 1987
• Ross W. Duffin: How Equal Temperament Ruined Harmony (And Why You should Care) Verlag W.W.Norton&Company, New York • London, 2007 (Auszug)

Weblinks

• Intervall-Umrechnung - Frequenzverhältnis nach cent und cent nach Frequenz

Stimmungen des abendländischen zwölfstufigen Tonsystems

Aulos-Modi | Gleichstufige Stimmung | Kirnberger-Stimmung | Mitteltönige Stimmung | Pythagoreische Stimmung | Reine Stimmung | Silbermann-Sorge-Temperatur | Vallotti-Stimmung | Werckmeister-Stimmung | Wohltemperierte Stimmung