Stimmung (Musik)

Unter Stimmung versteht man die theoretische und praktische Festlegung der Tonhöhen (Frequenzen) von Schallquellen, insbesondere von Musikinstrumenten. In der Praxis genügt hierzu oft (etwa bei einigen Blasinstrumenten) die Festlegung der absoluten Tonhöhe durch Abgleich mit einer Normfrequenz (Kammerton a¹ = 440 Hz oder einer anderen für den Einzelfall vereinbarten Frequenz). Vor allem bei Saiten- und Tasteninstrumenten ist zusätzlich eine relative Festlegung der den Saiten oder Tasten zugeordneten Frequenzen erforderlich.

Während Streichinstrumente auch nach der Einstimmung ihrer Saiten jeden Ton (evtl. durch Lagenspiel) rein intonieren können, müssen bei Tasteninstrumenten die zwölf Halbtöne pro Oktave fest eingestimmt werden. Beim Versuch, dies ausschließlich mit reinen Intervallen zu erreichen, kommt es unvermeidlich zu Unreinheiten beim Übergang zu anderen Tonarten des Quintenzirkels (siehe Komma, reine Stimmung, Wolfsquinte). Dieses Problem hat im Verlauf der Geschichte zu zahlreichen Lösungsversuchen in Form unterschiedlicher Stimmungssysteme geführt, von denen sich heute allgemein die gleichstufige Stimmung durchgesetzt hat.

Kammerton

Eine Angabe wie „Stimmung 440 Hz“ nennt die Schwingungsfrequenz eines bestimmten Stimmtons, üblicherweise des a' (eingestrichenes a, auch Kammerton genannt). Heutige Instrumente werden beispielsweise auf a¹ = 440 oder 442 Hz gestimmt. Um 1900 herum war 435 Hz üblich, in früheren Jahrhunderten waren, lokal abhängig, verschiedenste Stimmhöhen, auch deutlich höher als 440 Hz gebräuchlich. Heute wird bei historischen Instrumenten häufig ein Kammerton von 415 Hz verwendet, der ziemlich genau einen Halbton tiefer als 440 Hz ist. Anhören 440Hz Sinuston^?/i

Grundtonleiter und transponierende Instrumente

Mit der Stimmung eines Instruments ist manchmal seine Grundtonleiter oder deren Grundton gemeint, wie zum Beispiel F-Dur bzw. der Ton f¹ bei der Altblockflöte; siehe Holzblasinstrument.

Manchmal ist mit der Stimmung eines Instruments der Ton gemeint, der bei Verwendung von speziell für dieses Instrument geschriebenen Noten an Stelle eines geschriebenen C erklingt (siehe Transponierendes Musikinstrument). Dieses ist bei manchen Instrumenten, z. B. der Trompete, zugleich der Grundton (siehe oben), bei anderen aber nicht; z. B. ist bei der „in B gestimmten“ Klarinette eher F-Dur als Grundtonleiter anzusehen.

Mit „C-Stimmung“ kann dementsprechend gemeint sein, dass für das betreffende Instrument Noten in wirklicher Tonhöhe üblich sind, also nicht transponiert werden. Die spielbaren Tonleitehren sind damit nicht direkt bestimmt oder festlegt, wenngleich die meisten Instrumente Einschränkungen haben die dazu führen, dass nicht jedes Notenmaterial gleich einfach wenn überhaupt spielbar ist.

Stimmungssysteme

Ein Stimmungssystem ist die Art, wie bei einem Instrument die genauen Frequenzverhältnisse des Tonsystems gewählt sind. Eine andere Bezeichnung dafür (insbesondere bei Tasteninstrumenten) ist Temperatur oder Temperierung. Siehe auch Hauptbeitrag: Tonsystem

Frequenzverhältnisse im Tonsystem

Jeder Ton hat in jeder Tonleiter eine andere Bedeutung, z. B. kann das E der Grundton der E-Dur-Tonleiter sein, hingegen der dritte Ton (die Terz) der C-Dur-Tonleiter oder der fünfte Ton (die Quinte) der A-Dur- oder a-Moll-Tonleiter. Für jede der möglichen Positionen im Tonleiterraum ergeben sich unterschiedliche Frequenzverhältnisse der Töne zueinander, die aber untereinander in Einklang gebracht werden müssen, um auf einem Instrument in mehreren gewünschten Tonarten gespielt werden zu können. Eine Folge von reinen großen Terzen 5:4 ist stimmtechnisch nicht in Übereinstimmung zu bringen mit einer Folge von reinen Quinten 3:2. Dies bedeutet – bei der üblichen Beschränkung auf zwölf Tonstufen pro Oktave –, dass man Kompromisse eingehen muss: Je reiner eine bestimmte Tonart gestimmt wird, umso unreiner sind andere Tonarten.

Besonders auffällig wird dieses Problem bei der Mehrstimmigkeit.

Überblick über die Stimmungssysteme

Es gibt eine Vielzahl von Systemen, die Töne des Tonsystems einzustimmen. Die wichtigsten Stimmungssysteme sind:

• Pythagoreische Stimmung (alle Quinten außer einer Wolfsquinte sind rein, Terzen sind dissonant)
• Reine Stimmung oder Natürlich-harmonische Stimmung (perfekte ganzzahlige Frequenzverhältnisse in der Grundtonart)
• Mitteltönige Stimmung (die Basistonarten B-, F-, C-, G-, D-, A-, E-Dur enthalten reine Terzen)
  • Silbermann-Sorge-Temperatur
• Wohltemperierte (Temperierte) Stimmung (alle Tonarten sind akzeptabel spielbar bei unterschiedlichen Halbton-Verhältnissen)
  • Werckmeister-Stimmung
  • Kirnberger-Stimmung
  • Vallotti-Stimmung
  • Neidhardt-Temperatur
• Gleichstufige Stimmung (alle Halbtöne haben dasselbe nicht-ganzzahlige Frequenzverhältnis)

Die Stimmungen machen nur Aussagen über die Frequenzverhältnisse der einzelnen Töne zueinander. Es wird keine Aussage über die absolute Tonhöhe bzw. die Frequenz selbst gemacht. Die absolute Tonhöhe wird durch die Angabe der Frequenz des Anfangstons oder des Tons a¹ festgelegt (siehe oben).

Die Wahl der Stimmung ist davon abhängig, welche Musik gespielt werden soll. Die heute überwiegend verwendete Gleichstufige Stimmung ist für Musik nach 1800 geeignet. Frühere Musik oder außereuropäische Musik (Weltmusik) lebt sehr stark von der Intonationsreinheit oder von verschiedenartigen Tonartcharakteren. Diese Forderungen können durch die Gleichstufige Stimmung nicht bedient werden. Im Rahmen der Historischen Aufführungspraxis Alter Musik werden daher ältere Stimmungssysteme wieder verstärkt erforscht, um adäquate Wiedergaben zu ermöglichen.

Geschichte

Antike

Pythagoras mit verschiedenen in Quinten gestimmten Instrumenten (eingezeichnete Intervallverhältnisse 16:12:9:8:6:4).
Aus: Franchino Gaffurio: Theorica musicae, 1492 (1480?)

Die erste theoretische Beschreibung eines Stimmungssystems wurde in der Antike entsprechend der Legende von Pythagoras in der Schmiede Pythagoras von Samos zugeschrieben. Pythagoras war ein nach Unteritalien ausgewanderter Philosoph und Mathematiker. Er war der Auffassung, dass der gesamte Kosmos nach bestimmten Zahlenverhältnissen geordnet sei und die Musik Abbild der kosmischen Ordnung sei.

Der antiken Überlieferung zufolge, deren Glaubwürdigkeit allerdings in der modernen Forschung umstritten ist, untersuchte Pythagoras auf dem Monochord die Intervalle zwischen Saitenteilen mit ganzzahligen Längenverhältnissen. Beispielsweise klingt eine Saite, wenn sie in der Hälfte geteilt wird, eine Oktave höher als in ihrer vollen Länge; das zugehörige Zahlenverhältnis ist also 1:2. Er beschrieb so erstmals die natürlichen Intervalle, die aus der Obertonreihe bekannt sind.

Pythagoras soll eine siebentönige Skala auf der Grundlage der reinen Quinte (mit dem nach der Oktave einfachsten Zahlenverhältnis 2:3) eingeführt haben. Die Töne werden dabei von einem Anfangston ausgehend durch Quintschritte ermittelt und in eine gemeinsame Oktave transponiert. Das Ergebnis ist die Pythagoreische Stimmung, mit der sich später auch die Musiktheorie des Euklid beschäftigt. Von Euklid stammt auch die erste genaue Berechnung der Frequenzproportion des pythagoreischen Kommas.

Im 1. Jahrhundert v. Chr. führte der Musiktheoretiker Didymos die „Naturterz“ (5:4) in sein enharmonisches Tongeschlecht ein.

Eine andere Tradition geht auf Aristoxenos zurück, der die Ungenauigkeiten älterer Untersuchungen mit dem Monochord herausstellte und eine alternative Tonskalenberechnung begründete.

Mittelalter

Das Tonsystem des Pythagoras wurde von den Römern und im mittelalterlichen Europa übernommen. Monochorde, Glocken (vgl. Abbildung) und Orgelpfeifen wurden pythagoreisch gestimmt und in der gregorianischen Musizierpraxis verwandt. Die Harmonik der frühen Mehrstimmigkeit bevorzugte die in der pythagoreischen Stimmung tatsächlich reinen Intervalle (die Komplementärintervalle Quinte und Quarte sowie Prime und Oktave).

Renaissance

In der Renaissance gab es vor allem zwei für das Tonsystem wichtige Entwicklungen:

• Die zunehmende Chromatik in der Vokalpolyphonie erweiterte den Tonvorrat endgültig auf zwölf Töne.
• Das Dissonanzempfinden veränderte sich. Die Terz, im Mittelalter noch als dissonant eingestuft, wurde zum Harmonieträger im entstehenden Dur-Moll-System. Unterstützt wurde dieses Dissonanzempfinden allerdings dadurch, dass die Terz (Schwingungsverhältnis 81:64) in der im Mittelalter verwendeten pythagoräischen Stimmung auch aus heutiger Sicht dissonant klingt; die reine große Terz (Schwingungsverhältnis 5:4) kam erst mit dem Wechsel zur reinen Stimmung in das System.

Die neue Orientierung an der Terz und der Bedarf einer chromatischen Tonleiter führte zu Problemen mit der quintbasierten pythagoreischen oder auch der reinen Stimmung:

• Zwölf aufeinander geschichtete Quinten ergeben keinen geschlossenen Quintenzirkel. Der 13. Ton ist um das pythagoreische Komma höher als der Ausgangston.
• Vier aufeinander geschichtete Quinten (z. B. C — G — D — A — E) ergeben keine reine große Terz. Der fünfte Ton ist um das syntonische Komma höher als eine reine große Terz auf dem Ausgangston. Terz C-E in pythagoreischer Stimmung und rein. (Ggf. mehrmals anhören.)^?/i Dasselbe zwei Oktaven höher und obertonreich^?/i

Man wählte, dem neuen Klangideal entsprechend, die reine große Terz (mit dem nach Quinte und Quarte nächsteinfacheren Zahlenverhältnis 4:5) als neues Stammintervall und entwickelte, da die reine Stimmung auf den üblichen Tasteninstrumenten nicht verwirklicht werden konnte, die sogenannte Mitteltönige Stimmung. Dabei führte man, um dem syntonischen Komma aus dem Weg zu gehen, leicht verkleinerte Quinten ein, von denen vier aufeinander geschichtet eine reine große Terz bilden.

Durch die Folge von elf mitteltönigen Quinten

Es — B — F — C — G — D — A — E — H — Fis — Cis — Gis

erhielt man die zwölf Töne unseres abendländischen Tonsystems.

C-Dur-Dreiklang pythagoreisch und mitteltönig^?/i Dasselbe obertonreich^?/i

So erhielt man acht große Terzen wie gewünscht rein. (z. B. C — E durch vier mitteltönige Quinten C — G — D — A — E); vier Terzen mussten unrein bleiben (z. B. H-Dis, da Dis als Es eingestimmt ist und Dis deshalb nicht vier mitteltönige Quinten über H liegt, sondern acht mitteltönige Quinten unter H; vgl. obige Quintfolge).

Die Mitteltönige Stimmung war jedoch auch ein Kompromiss und in mancher Hinsicht nicht zufriedenstellend. Theorie und Praxis:

• Durch dieses System entstanden viele Intervalle, die sich nicht durch ganzzahlige Brüche ausdrücken lassen, was einen Widerspruch zur pythagoreischen Auffassung der Musik darstellte. Die Ursache dafür sind die zugunsten der Terzreinheit eingeführten mitteltönigen Quinten, für die ein Saitenlängenverhältnis von $1:\sqrt[4]{5}$ gilt, das nicht als rationale Zahl darstellbar ist.
• Zwölf aufeinander geschichtete mitteltönige Quinten ergeben einen Ton, der um die so genannte kleine Diësis tiefer ist als der Ausgangston (vgl. Problematik der pythagoreischen Stimmung).
• Die Quinte As — Es bzw. Gis — Dis ist um die kleine Diesis zu groß, da das As „alias Gis“ nicht als mitteltönige Quinte unter Es gestimmt wird, sondern elf mitteltönige Quinten über Es liegt (vgl. obige Quintfolge). Diese so genannte Wolfsquinte klingt sehr unrein. In der mitteltönigen Stimmung klingen daher Tonarten, die diese Quinte enthalten (z. B. Es-Dur oder Cis-Dur), extrem dissonant und sind allenthalben zur Darstellung bestimmter Affekte brauchbar.

Vergleich: Mitteltönige Kadenzen in C-Dur und Des-Dur^?/i

Dennoch setzte sich die mitteltönige Stimmung durch. Modulatorische Entwicklung, wie sie später üblich wurde, war in der Renaissance wenig gebräuchlich. Man kam deshalb zunächst mit dem gut klingenden Tonartenbereich aus. Um auch weitere Tonarten in der mitteltönigen Stimmung spielbar zu machen, wurden Tasteninstrumente mit z. B. 31 Tönen in der Oktave gebaut, die sich aber nicht durchsetzen konnten.

Barock

Im Laufe des 17. Jahrhunderts wurde diese Beschränkung auf zentrale Tonarten zunehmend als störend empfunden. Um in der Wahl der Tonarten freier zu werden, begann man, Stimmungssysteme zu entwickeln, in denen alle Tonarten spielbar sind, wenn auch nicht alle in gleicher Qualität. Dafür mussten Abstriche in der Reinheit der Terzen hingenommen werden. Diese Stimmungen wurden „Wohltemperierte Stimmungen“ oder „Gute Temperaturen“ genannt, im Gegensatz zur nun als „schlecht“ empfundenen mitteltönigen Stimmung. Beispiele hierfür sind die Stimmungen von Andreas Werckmeister Werckmeister III-V, ( Kadenzen in C- und Des-Dur^?/i) oder die Stimmungen des Orgelbauers Gottfried Silbermann.

Allerdings gab es keine Temperatur, die sich universell durchsetzte wie vormals die mitteltönige Stimmung (die mit den neuen Temperaturansätzen übrigens nicht einfach verschwand). Am Beispiel Werckmeisters kann man sehen, dass zunächst auch nicht unbedingt angestrebt wurde, eine einheitliche Stimmung zu etablieren. Er beschreibt in seinem wichtigsten Werk Musicalische Temperatur verschiedene Temperaturen, die je nach Bedürfnis mehr oder weniger geeignet sein können.

Grundsätzlich kann man (bei Werckmeister und anderen) zwei Ansätze unterscheiden:

• Einige Systeme strebten danach, die Tonarten mit wenigen Vorzeichen möglichst klar klingen zu lassen, aber auch diejenigen mit vielen Vorzeichen, wenn auch mit getrübterem Klang, spielbar zu machen. (Beispiel: Die Werckmeister-II-Temperatur.)
• Andere Systeme versuchten, alle Tonarten möglichst gut spielbar zu machen. (Beispiel: Die Werckmeister-III-Temperatur). Dieser Ansatz führte am Ende der Entwicklung zur heute gebräuchlichen gleichstufigen Temperatur. Bei diesem Ansatz muss man allerdings einen – im Gegensatz zu den zentralen Tonarten im oben beschriebenen Ansatz – relativ matten Klang aller Tonarten in Kauf nehmen.

Gleichstufige Temperatur

Siehe auch Hauptartikel: Gleichstufige Stimmung

Bereits in der Renaissance suchte man nach Methoden, die Laute gleichstufig zu stimmen. Da es nicht möglich ist, auf Bundinstrumenten jeden Ton einzeln einzustimmen, kommt es zu Problemen. (Weil z. B. in der mitteltönigen Stimmung nicht alle großen Terzen gleich sind, müsste auf der A-Saite der vierte Bund die Saite für die große Terz Cis auf ⁴/₅ der Länge verkürzen, auf der H-Saite soll Dis „alias“ Es jedoch nicht als große Terz eingestimmt werden. Die Saite müsste hier in der mitteltönigen Stimmung auf ²⁵/₃₂ der Länge verkürzt werden.)

Da die Möglichkeiten der Wurzelrechnung zu dieser Zeit noch beschränkt waren, konnte man den gleichstufigen Halbton mit dem Verhältnis $1:\sqrt[12]{2}$ noch nicht berechnen. Dennoch konnte man ein gleichstufiges Griffbrett bauen, da man geometrische Methoden zur nähungsweisen Konstruktion einfacher Wurzelverhältnisse zur Hand hatte. Der venezianische Musiker und Musiktheoretiker Gioseffo Zarlino beschreibt schon 1558 eine solche Methode.

Der Lautenist Vincenzo Galilei, Vater des Galileo Galilei, gab die einfachen ganzzahligen Verhältnissen dennoch nicht auf. Er verkürzte die Saite pro Bund auf ¹⁷/₁₈ der Länge. In der Theorie kommt er dabei mit dem zwölften Halbton zwar nicht ganz bei der Oktave an, in der Praxis ist das Ergebnis aber recht brauchbar, da der Ton durch das Drücken und dem dabei überwunden Abstand von Bund und Saite (die Saite wird länger) und durch den Fingerdruck auf die Saite (Saitenspannung erhöht sich) noch ein wenig erhöht wird. Die Saitenlänge kann auch nach der Konstruktion des Griffbretts durch die Umpositionierung des Stegs noch minimal korrigiert werden, so dass das Ergebnis noch besser wird.

Mathematiker und Musiktheoretiker versuchten sich in den folgenden knapp 200 Jahren daran, mit unterschiedlichen Methoden genauere Zahlenwerte für die gleichstufige Temperatur zu ermitteln. Im 19. Jahrhundert setzte sich die gleichstufige Temperatur schließlich allgemein durch.

Heute gibt es wieder Diskussionen darüber, wie beispielsweise Orgeln gestimmt werden sollten. Viele historische Kompositionen gehen von unterschiedlichen Klangeigenschaften verschiedener Tonarten und Akkorde aus, die auf gleichstufig gestimmten Instrumenten nicht reproduzierbar sind. Dieses ist insbesondere für die Historische Aufführungspraxis von Bedeutung.

Vergleich der Stimmungssysteme in Zahlen

Hinweis: Reine Intervalle sind durch ganzzahlige Frequenzverhältnisse charakterisiert, temperierte Intervalle haben dagegen meist ein irrationales Frequenzverhältnis. Deshalb erfolgt der Größenvergleich mit der Einheit Cent, wobei 1 Oktave = 1200 Cent.

Die folgende Tabelle gibt die Dur-Tonleiter verschiedener Stimmungen in Cent (gerundet) an:

Name	Prime	große Sekunde	große Terz	Quarte	Quinte	große Sexte	große Septime	Oktave
Reine Stimmung	0	204/182	386	498	702	884	1088	1200
Pythagoreische Stimmung	0	204	408	498	702	906	1110	1200
1/4-Komma-mitteltönige Stimmung	0	193	386	503	697	890	1083	1200
Gleichstufige Stimmung	0	200	400	500	700	900	1100	1200

Bemerkung: Bei der reinen Stimmung gibt es den großen Ganzton (In C-Dur zum Beispiel C-D) mit 204 Cent und den kleinen Ganzton (in C-Dur zum Beispiel D-E) mit 182 Cent. Beides wird als große Sekunde bezeichnet. In der mitteltönigen Stimmung werden die beiden Ganztöne gemittelt zu je 193 Cent. Zusammen ergeben sie die reine Terz mit 386 Cent.

In den folgenden Tabellen erkennt man, welche Quinten und Terzen in verschiedenen Stimmungen in den verschiedenen Tonlagen rein, angenähert rein, noch tolerierbar und misstönig sind. Daran kann man ermessen, wie entsprechende Dur- und moll-Akkorde in der verschiedenen Tonarten erklingen.

Quinten in Cent	c-g	des-as cis-gis	d-a	es-b dis ais	e-h	f-c	fis-cis ges-des	g-d	as-es gis-dis	a-e	b-f	h-fis	c-g
1/4-Komma-mitteltönige Stimmung	697	697	697	697	697	697	697	697	738	697	697	697	697
Werckmeister III-wohltemperiert	696	702	696	702	702	703	702	696	702	702	702	696	696
gleichstufige Stimmung	700	700	700	700	700	700	700	700	700	700	700	700	700
pythagoreische Stimmung	702	702	702	702	702	702	702	702	679	702	702	702	702

Zum Vergleich: reine Quinte = 702 Cent, gleichstufige Quinte = 700 Cent.

Große Terz in Cent	c-e	des-f cis-eis	d-fis	es-g	e-gis	f-a	fis-ais ges-b	g-h	as-c gis-his	a-cis	b-d	h-dis ces-es	c-e
mitteltönige Stimmung	386	427	386	386	386	386	427	386	427	386	386	427	386
wohltemperierte Stimmung	390	408	396	402	402	391	408	396	408	402	397	402	390
gleichstufige Stimmung	400	400	400	400	400	400	400	400	400	400	400	400	400
pythagoreische Stimmung	408	384	408	408	408	408	384	408	384	408	408	384	408

Zum Vergleich: reine große Terz = 386 Cent, gleichstufige Große Terz = 400 Cent.

Stimmen von Instrumenten

Als Stimmen von Instrumenten bezeichnet man die Einstellung der Tonhöhe. Ein Blasinstrument wird als Ganzes gestimmt, bei Saiteninstrumenten (Streichinstrumente, Gitarre, Harfe) jede Saite einzeln. Bei Klavieren und Orgeln sind sogar für jeden einzelnen Ton mehrere Saiten bzw. Pfeifen zu stimmen. Einige Instrumente werden sogar in "Lagen" gestimmt; dazu gehört zum Beispiel das Einstellen der Bundreinheit bei Gitarren.

Die meisten Instrumente lassen sich innerhalb gewisser baulich vorgegebener Grenzen stimmen, aber es gibt auch Instrumente, die aufgrund ihrer Bauweise nicht oder nur sehr aufwendig stimmbar sind. Hierzu zählen vor allem Instrumente aus dem Bereich Percussion und der Idiophone, z. B. Glockenspiele.

Beim Stimmen von Instrumenten kann man drei Aufgaben unterscheiden:

• die Stimmung eines Instruments „in sich“ (wichtig bei den Tasten- und Saiteninstrumenten)
• die Abstimmung mehrerer Instrumente miteinander
• die Stimmung eines Instruments auf absolute Tonhöhen

Der manuelle Vorgang des Stimmens ist von Instrument zu Instrument verschieden. Bei Blasinstrumenten erfolgt dieses meistens durch Veränderung der Rohrlänge, bei Streichinstrumenten durch die Veränderung der Saitenspannung. Bei Tasteninstrumenten muss meistens jeder einzelne Ton gestimmt werden. Die Stimmung eines Ensembles erfolgt in der Regel nach dem unflexibelsten Instrument, meistens sind das die Tasteninstrumente. Im Orchester gibt die Oboe aufgrund ihres obertonreichen Klangs das „a’“ als Kammerton vor. Steht kein Referenzinstrument zur Verfügung, kann eine Stimmgabel, eine Stimmpfeife oder ein elektronisches Stimmgerät als Hilfe genutzt werden. Elektronische Musikinstrumente müssen aufgrund der verwendeten Tonerzeugung „in sich“ nicht gestimmt werden, oftmals können sie aber insgesamt in kleinen bis hin zu transponierenden Abstufungen verändert werden.

Durch die Häufigkeit des Stimmvorganges haben viele routinierte Instrumentalisten eine Art Absolutes Gehör für ihre Stimmtöne (Grundtöne bei Bläsern, Leersaiten bei Streichern) entwickelt.

Siehe auch

• Teiltonreihe
• Tonstruktur (mathematische Beschreibung)
• Klavierstimmung
• Streckung
• Tonsysteme im subsaharischen Afrika
• Offene Stimmung
• Das Stimmen einer Gitarre

Literatur

• Ernst Kochsiek: Konzertstimmungen. Erlebnisse und Begegnungen mit berühmten Pianisten. Mit Audio-CD. Edition Bochinsky, 2001, ISBN 978-3-923639-46-5

Stimmungen in Musikgeschichte und -praxis

• Entwicklung wohltemperierter Stimmungen unter Berücksichtigung von J. S. Bach - mit Hörbeispielen
• Zur Stimmung von Tasteninstrumenten (PDF-Datei; 443 kB)
• Hierzu Hörbeispiel
• Musiktheorie I       Musiktheorie II
• Intervall Umrechnung: Frequenzverhältnis nach Cent und Cent nach Frequenz (ratio)
• Umrechnung Cent in Frequenzverhältnis Ratio und zurück - in Excel
• Zusammenstellung logarithmischer Maßeinheiten zu Intervallgrößen - engl.
• Klaviatur - Frequenzen - Notennamen - Piano-Tastatur

Weblinks

 Commons: Musical tuning – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Mathematisches Axiomensystem zu Stimmungen von Joachim Mohr
• Liste von Stimmungen mit detaillierten Informationen
• Zusammenstellung von Stimmungen mit Tabellen und Grafiken zu Intervallabweichungen
• Stimmungen
• Encyclopedia of Microtonal Music Theory - engl.

Stimmungen des abendländischen zwölfstufigen Tonsystems

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