Darcy-Gesetz

Das Darcy-Gesetz, benannt nach dem französischen Ingenieur Henry Darcy, ist eine empirisch (also durch Versuche) ermittelte Gesetzmäßigkeit der Strömungsmechanik. Sie wurde 1856 im Zusammenhang mit der von Darcy konzipierten Wassergewinnungsanlage für die Stadt Dijon veröffentlicht. Lange Zeit war es nicht klar, warum das Darcy-Gesetz funktioniert und woraus es sich herleitet. Heute weiß man, dass es sich um eine spezielle Lösung der Navier-Stokes-Gleichung handelt.

Definition

Das Darcy-Gesetz (auch Darcy-Gleichung genannt) besagt, dass die Wassermenge Q, die eine Fläche A in einem porösen Medium (zum Beispiel Sand) (laminar) durchströmt, direkt proportional zum hydraulischen Gradienten i ist. Der Proportionalitätsfaktor dieser Beziehung, der k_f-Wert (Durchlässigkeitsbeiwert) ist ein Kennwert für das poröse Medium und das durchströmende Fluid (Flüssigkeit oder Gas).

Der hydraulische Gradient oder das hydraulische Gefälle i ist definiert als der Quotient der Differenz der Standrohrspiegelhöhen (Piezometerhöhen) h_A und h_B an zwei Punkten A und B entlang der Fließstrecke und dem Abstand L der beiden Punkte voneinander.

Das Gesetz lautet:

$v_f=-k_\mathrm{f} \cdot i$

oder

$Q=v_\mathrm{f} \cdot A = -k_\mathrm{f} \cdot i \cdot A$

beziehungsweise

$Q=-k_\mathrm{f} \cdot \frac{h_A - h_B}{L} \cdot A$

wobei:

Q – Durchflussrate; [Q] = m³/s;

v_f – Filtergeschwindigkeit; [v_f] = m/s

A – Gesamtquerschnitt (Porenraum + Matrix); [A] = m²

k_f – Durchlässigkeitsbeiwert; [k_f] = m/s

i – hydraulischer Gradient (auch hydraulisches Gefälle oder Potentialgefälle); [i] = m/m

h_A – Standrohrspiegelhöhe an der Stelle A; [h_A] = m

h_B – Standrohrspiegelhöhe an der Stelle B; [h_B] = m

L – Fließstrecke zwischen A und B; [L] = m

Der Begriff „Filtergeschwindigkeit“ ist historisch gewachsen. Tatsächlich handelt es sich um einen flächenbezogenen Durchfluss (engl. specific discharge), der eben die Einheit einer Geschwindigkeit aufweist[L³·L^-2/T=L/T). Das Minus-Vorzeichen bringt zum Ausdruck, dass die Strömung in Richtung fallender Piezometerhöhen (Standrohrspiegelhöhen) erfolgt.

Transportgeschwindigkeit

Die Transportgeschwindigkeit von Wasserteilchen (oder vollständig gelösten Wasserinhaltsstoffen) wird durch die Abstandsgeschwindigkeit v_a [L/T] beschrieben, die aus dem Quotienten der Filtergeschwindigkeit und der durchflusswirksamen Fläche, ausgedrückt durch die Porosität, des durchströmten Mediums gebildet wird.

Hydraulischer Gradient

Im Allgemeinen ist der hydraulische Gradient i, wie die Filtergeschwindigkeit v_f auch, eine vektorielle Größe und somit gerichtet. Er ergibt sich aus der örtlichen Ableitung der Standrohrspiegelhöhe h(x) in die einzelnen Koordinatenrichtungen x:

$i(x) = - \operatorname{grad}(h(x))=-\frac{dh}{dx}$

In der Grundwasserhydrologie wird häufig der hydraulische Gradient zwischen zwei Punkten A und B mit dem Abstand L linear angenommen, woraus sich ergibt:

$i = \frac{h_A - h_B}{L}$

Der Durchlässigkeitsbeiwert k_f kann durch Laborversuche (Durchlässigkeitsversuch) bestimmt werden. Der Messwert ist nicht nur von der Porengeometrie, sondern auch, wie bereits erwähnt, von der Viskosität und der Dichte des durchströmenden Fluids (z.B. Wasser bei 10°C) abhängig. Das Darcy-Gesetz gilt auch für viele andere Fluide (Flüssigkeiten und Gase), zum Beispiel für Erdöl im Boden (Petrochemie). Ein vom durchströmenden Medium unabhängiger Kennwert für die Durchlässigkeit ist die Permeabilität K. Der Zusammenhang zwischen der Permeabilität K eines porösen Mediums und der Durchlässigkeit k_f dieses porösen Mediums in Bezug auf ein bestimmtes strömendes Fluid lautet:

$k_\mathrm{f} = K \cdot \frac{\rho_\mathrm{F} \cdot g}{\eta_\mathrm{F}}$

wobei über die bereits zuvor definierten Größen hinaus gilt:

K - (intrinsische) Permeabilität; [K] = m²

ρ_F - Dichte des strömenden Fluids; [ρ_F] = kg/m³

g - Schwerebeschleunigung; (g = 9,81 m/s² auf der Erdoberfläche)

η_F - Dynamische Viskosität des strömenden Fluids; [η_F] = Ns/m²

Nicht-lineare Bereiche

Die von Darcy ermittelte Gesetzmäßigkeit, also die Proportionalität von Geschwindigkeit v_f und hydraulischem Gradienten i, lässt sich in Experimenten nicht immer beobachten. Wenn beispielsweise die Geschwindigkeit in den Poren so groß werden, dass keine laminare sondern eine turbulente Strömung vorherrscht, dann erfolgt infolge der erhöhten Dissipation ein stärkerer Potentialabbau. Eine Auftragung zwischen Fließgeschwindigkeit und Gradient wird in diesem Bereich nicht-linearer. Die Gleichung nach Darcy wurde daher von Philipp Forchheimer um einen Term erweitert, der turbulente Effekte berücksichtigt. Die erweiterte Gleichung wird als Forchheimer-Gleichung bezeichnet. Ähnliche nicht-lineare Effekte gibt es auch bei sehr geringen Gradienten. Oberflächenkräfte können dann dominieren, so dass eine nichtlineare Abnahme der Filtergeschwindigkeit v_f mit fallendem Gradienten i beobachtet werden kann.

Durchströmung nicht-mischbarer Fluide

Das Darcy-Gesetz gilt streng genommen nicht, wenn sich in den Poren mehrere Fluide aufhalten und bewegen können. Wie stark der Einfluss ist, hängt von der Viskosität der beteiligten Fluide ab. Dies kann zum Beispiel bei der Verlagerung von nicht mischbaren Flüssigkeiten (LNAPL oder DNAPL) im Grundwasser eintreten. Bei der Versickerung von Niederschlägen im Boden kann man häufig davon ausgehen, dass die Luft hinreichend schnell entweichen kann und stets Atmosphärendruck in der Gasphase herrscht. Dieser Strömungsprozess wird häufig analog zum Darcy-Gesetz beschrieben, allerdings mit einem von der Wassersättigung abhängigen k_f-Wert (Teilgesättigte Strömung).

Literatur

• Christoph Adam, Walter Gläßer, Bernward Hölting (2000): Hydrogeologisches Wörterbuch, Enke Verlag. Stuttgart, New York, ISBN 3-13-118271-7
• Jacob Bear (1972): Dynamics of fluids in Porous Media. Dover Publications, New York
• Karl-Franz Busch, Ludwig Luckner, Klaus Tiemer (1993): Geohydraulik, 3. Aufl., Lehrbuch der Hydrogeologie Band 3, Gebrüder Borntraeger, Berlin, Stuttgart
• Kinzelbach W., Rausch R. (1995): Grundwassermodellierung. VIII , 283 Seiten, 2 Disketten, ISBN 978-3-443-01032-4
• Freeze, Cherry: Groundwater
• Jordan und Weder: Hydrogeologie. Grundlagen und Methoden