- Fastring
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Ein Fastring ist in der Mathematik die Verallgemeinerung der algebraischen Struktur eines Ringes, in der die Addition nicht mehr kommutativ sein muss und in der nur ein einseitiges Distributivgesetz gilt. Im allgemeinen werden Fastringe verwendet, um algebraisch mit Funktionen auf Gruppen arbeiten zu können.
Inhaltsverzeichnis
Definitionen
Fastring
Ein Rechtsfastring oder kurz Fastring ist eine algebraische Struktur
mit zwei zweistelligen Verknüpfungen Addition + und Multiplikation
für die gilt:
ist eine Gruppe.[1]
ist eine Halbgruppe.
- Das rechtsseitige Distributivgesetz ist gültig:
für alle
wird hingegen ein Linksfastring genannt, wenn an Stelle des rechtsseitigen Distributivgesetzes
3.′ das linksseitige Distributivgesetz gültig ist:
für alle
Erfüllt ein Fastring beide Distributivgesetze, so heißt er distributiver Fastring, ist also Rechts- und Linksfastring.
Man nennt einen Fastring
, bei dem die additive Gruppe
kommutativ ist, abelsch. Wenn jedoch die multiplikative Halbgruppe
kommutativ ist, dann bezeichnet man dagegen
als kommutativ. Kommutative Fastringe sind stets distributiv.
Produkte werden vereinfachend auch ohne das Multiplikationszeichen
für alle
geschrieben und zur Klammerersparnis binde wie üblich im folgenden die Multiplikation stets stärker als die Addition.
Definiert man auf einem Fastring
eine zweistellige Verknüpfung Subtraktion − gemäß
für alle
so gilt auch für diese wegen
- das rechtsseitige Distributivgesetz:
für alle
Analog gilt für einen Linksfastring das entsprechende linksseitige Distributivgesetz der Subtraktion.
Nullelement
Jeder Fastring
besitzt gemäß der Definition ein neutrales Element 0 bezüglich der Addition, d. h.
für alle
Dieses heißt das Nullelement oder kurz die Null des Rechts- bzw. Linksfastringes. Es ist bei einem (Rechts-)Fastring bezüglich der Multiplikation linksabsorbierend:
für alle
und bei einem Linksfastring rechtsabsorbierend, jedoch ist die Null im allgemeinen nicht beidseitig absorbierend.
Einselement
Hat ein Fastring
auch ein neutrales Element 1 bezüglich der Multiplikation,
für alle
so nennt man dieses das Einselement oder kurz die Eins des Fastringes.
Fastkörper
Bildet außerdem
eine Gruppe, dann heißt der Fastring
Fastkörper.
Halbfastring
Jeder Fastring lässt sich noch zu einem Halbfastring
verallgemeinern, in dem in der Definition des Fastringes an Stelle der Gruppeneigenschaft der Addition nur noch gefordert wird:
1.′
ist eine Halbgruppe.
Beispiele
- Typische Beispiele für Fastringe sind Mengen von Selbstabbildungen auf Gruppen. Sei etwa
eine Gruppe und GG bezeichne die Menge aller Funktionen
, dann überträgt sich die Gruppenstruktur auf GG durch
für alle
- Außerdem bildet GG mittels der Komposition
ein Monoid, so dass dann
ein Fastring mit Eins
ist, da das rechtsseitige Distributivgesetz automatisch erfüllt ist:
für alle
- Ist
eine Gruppe und
eine Untergruppe der Automorphismengruppe von
, die scharf-transitiv auf
operiert, d.h. für zwei Elemente
gibt es genau ein
mit
, dann kann man wie folgt eine Operation
auf
definieren: Man wählt ein festes Element
. Sind
, so gibt es eindeutig bestimmte Elemente
mit
und
. Man definiert dann
, ferner setzt man
für alle
. Dann ist
ein Fastkörper, dessen multiplikative Gruppe isomorph zu
ist. Das rechtsseitige Distributivitätsgesetz ist wegen g(h(e) + k(e)) = g(h(e)) + g(k(e)) für alle
erfüllt. Ist
, so enthält die Automorphismengruppe von F eine Untergruppe, die isomorph zur Quaternionengruppe der Ordnung 8 ist. Diese Gruppe operiert scharf-transitiv auf
. So erhält man ein minimales Beispiel für einen Fastkörper, der kein Körper ist.
Eigenschaften
- Jeder Fastring
hat einen 0-symmetrischen Teil
und einen konstanten Teil
so dass
gilt.
Siehe auch
Anmerkungen
- ↑ (F, + ) muss nicht kommutativ sein!
Literatur
- Günter Pilz: Near-Rings. North-Holland, Amsterdam–New York–Oxford 1977. ISBN 0-7204-0566-1
- Heinz Wähling: Theorie der Fastkörper. Thales Verlag, 1987.
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