Affine Abbildungen

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S. Disku --Philipendula 17:17, 29. Sep. 2007 (CEST)

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Eine affine Abbildung (auch affine Transformation) ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen (oder affinen Räumen), die Kollinearitäten und Abstandsverhältnisse paralleler Strecken bewahrt.

Erklärung: Bewahrung der Kollinearität bedeutet, dass die Bilder von Punkten, die auf einer Geraden liegen (d. h. kollinear sind), wieder auf einer Geraden liegen. Ebenso sind die Bilder paralleler Geraden wieder parallel.

In einem Vektorraum wird dabei unter einer Geraden eine additive Nebenklasse eines eindimensionalen Unterraumes verstanden, mit anderen Worten das Bild eines eindimensionalen Unterraumes unter einer Translation.

Spezialfälle: Wenn die Abbildung bijektiv (umkehrbar eindeutig) ist, heißt sie Affinität. Eine abstandsbewahrende Affinität heißt Bewegung. Eine affine Abbildung eines Vektorraumes auf sich ist bijektiv, wenn die Determinante der Abbildungsmatrix ungleich 0 ist.

Abweichende Definitionen: Mitunter wird schon in der Definition der affinen Abbildung Bijektivität gefordert. In der Schulmathematik und manchen Anwendungsgebieten (zum Beispiel in der Statistik, siehe unten) wird die affine Abbildung lineare Abbildung genannt. Im allgemeinen mathematischen Sprachgebrauch ist eine lineare Abbildung jedoch eine affine Abbildung ohne Translationsanteil.

Koordinatendarstellung

Eine affine Abbildung setzt sich aus einer linearen Abbildung und einer Parallelverschiebung zusammen. Schreibt man die lineare Transformation als Matrix-Vektor-Produkt, so ergibt sich die affine Transformation f aus der Matrix A und dem Verschiebungsvektor t:

$f(x) = A \cdot x + t$

Die affinen Abbildungen umfassen alle linearen Abbildungen (mit t = 0) und ergänzen diese (z. B. Rotation, Skalierung, Scherung) um die Translationen.

• Siehe auch: Koordinatensystem, Koordinatentransformation

Anwendungen

Affine Abbildungen kommen z. B. in der Kartographie und der Bildbearbeitung zur Anwendung. Innerhalb der Mathematik tauchen sie ebenfalls in verschiedenen Bereichen wie der Funktionentheorie auf.

Häufige affine Abbildungen, die zum Beispiel in der Robotik oder Computergrafik Anwendung finden, sind Translation, Rotation, Skalierung, Reflexion und Scherung.

Lineare Transformation in der Statistik

Als lineare Transformation werden affine Abbildungen beispielsweise in den statistischen Methoden eingesetzt.

Verteilungsparameter einer Zufallsvariablen X

Betrachtet wird eine Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert EX und der Varianz varX. Es wird eine neue Zufallvariable gebildet, die eine lineare Transformation von X ist,

Y = a + bX,

wobei a und b reelle Zahlen sind.

Y hat dann den Erwartungswert

EY = a + bEX,

und die Varianz

varY = b²varX.

Speziell: Ist X normalverteilt, ist auch Y normalverteilt mit den obigen Parametern.

Beispiel: Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit positiver Varianz. Nützlich ist dann eine lineare Transformation

$Y = \frac{X-EX}{\sqrt{\operatorname{var}X}},$

denn nun ist Y mit EY=0 und varY=1 eine sogenannte standardisierte Zufallsvariable.

Verteilungsparameter mehrerer gemeinsam verteilter Zufallsvariablen

Betrachtet werden p viele Zufallsvariablen X_j (j = 1, … , p). Man fasst diese Zufallsvariablen im Zufallsvektor x zusammen. Die Erwartungswerte werden im Erwartungswertvektor μ und die Varianzen und Kovarianzen in der Kovarianzmatrix Σ aufgeführt. Es wird ein Zufallsvektor y gebildet, der eine lineare Transformation von x ist,

$\underline y = \underline a + \underline B \underline X,$

wobei a ein q-dimensionaler Spaltenvektor und B eine (qxp)-Matrix (q ≤ p) sind.

y hat dann den Erwartungswertvektor

$\underline \mu_y = \underline a + \underline B \underline \mu$

und die Kovarianzmatrix

$\underline\Sigma_y = \underline B \underline \Sigma \underline {B}^T$.

Speziell: Ist x p-dimensional normalverteilt, ist y q-dimensional normalverteilt mit den obigen Verteilungsparametern.

Affine Abbildungen und lineare Gleichungssysteme

Affine Abbildungen sind in der Theorie der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen wichtig. Die Transformation eines linearen Gleichungssystems in Ausdrücke der linearen Algebra gestattet, allgemeine Aussagen über die Struktur der Lösungsmenge anzugeben. So kann ein homogenes Gleichungssystem (also eines, in dem die „rechte Seite“ immer 0 ist) aus m Gleichungen und n Unbekannten als lineare Abbildung eines Spaltenvektorraums der Dimension n in einen der Dimension m aufgefasst werden. Dazu schreibt man die Koeffizienten der Unbekannten so in eine Matrix, dass nach Multiplikation dieser mit dem Spaltenvektor (x, y, z, …) der Unbekannten der Vektor der gegebenen Gleichungen erscheint.

Beispiel:

$\begin{align} x + 2y + 3z &= 0\\ 5x - 3y + 8z &= 0\\ 3x - 2y - z &= 0 \end{align}$

Sei A die Koeffizientenmatrix $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & -3 & 8 \\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix}$.

0 sei der Nullvektor $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, und der Vektor $v=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$.

Man kann sehen, dass $A \cdot v = 0$ und so wieder die Abhängigkeiten in den Gleichungssystemen wie oben gelten (einfach $A \cdot v$ ausmultiplizieren).

Und hier kommt die Eigenschaft der linearen Abbildungen ins Spiel:

Der Lösungsraum für $A \cdot v = 0$ ist damit der Kern der Abbildung (wichtig!).

Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn der Kern der Abbildung die nur aus der Null bestehende Menge ist (Beweis). Das zur Abbildung gehörende lineare Gleichungssystem hat also nur die triviale Lösung (den Nullvektor). Die Injektivität lässt sich überprüfen, indem man die Determinante der Matrix betrachtet: Die Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die Determinante ungleich Null ist.

Ist hingegen die Determinante gleich Null, muss der Rang der Matrix betrachtet werden. Der Rang einer Matrix ist die Dimension des Spalten- bzw. Zeilenraums der Matrix (diese sind gleich). Man kann ihn ausrechnen, indem man die Matrix durch elementare Zeilenumformungen in eine obere Dreiecksmatrix umformt und die Anzahl der „0“-Zeilen von n abzieht.

Sei m := n − Rang(A). Der Kern der Abbildung hat dann genau die Dimension m. Der Lösungsraum der Matrix hat also die Dimension m. In der Schulmathematik spricht man hier von „unendlich vielen“ Lösungen, da man als Körper nur den Körper der reellen Zahlen betrachtet.

Im Fall, dass auf der rechten Seite der Gleichungen des Gleichungssystem nicht der Nullvektor steht (ein so genanntes inhomogenes Gleichungssystem), ist der Lösungsraum für diese Gleichungen um eine spezielle Lösung für diese Gleichungen im Vergleich zu dem homogenen Gleichungssystem mit diesen Koeffizienten parallel verschoben. Man nennt den Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems „linearer Lösungsraum“, den eines inhomogenen bzw. heterogenen linearen Gleichungssystems „affiner Lösungsraum“.

Man erhält ihn, indem man eine einzige Lösung für v ausrechnet. Gibt es diese so ist der Lösungsraum dann L = Kern(A) + Lösung.

Siehe auch

• Affinität (Mathematik)
• Affine Geometrie
• Affine Koordinaten
• Funktionaldeterminante
• Kollineare Abbildung
• Homothetie
• Dilatation (Geometrie)

Weblinks

• „Algebra & Geometrie“ von Bernhard Kabelka
• Vorlesungsskript „Algebra und Geometrie“ von Hubert Grassmann (PDF)