Affiner Zusammenhang

Im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ist ein Zusammenhang ein Hilfsmittel, um Richtungsänderungen im Laufe einer Bewegung zu quantifizieren und Richtungen in verschiedenen Punkten miteinander in Beziehung zu setzen.

Dieser Artikel behandelt im Wesentlichen den Spezialfall des affinen Zusammenhangs auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit und daneben den des linearen Zusammenhangs auf einem Vektorbündel. Allgemeiner existieren Zusammenhänge auf Faserbündeln.

Definition: Zusammenhang auf dem Tangentialbündel (affiner Zusammenhang)

Ein Zusammenhang auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M wird dadurch angegeben, dass man angibt, was die Richtungsableitung eines Vektorfelds in Richtung eines Tangentialvektors sein soll. Demgemäß definiert man einen Zusammenhang auf dem Tangentialbündel von M als eine Abbildung $\nabla$, die einem Tangentialvektor $v\in T_pM$ in einem Punkt $p\in M$ und einem in einer Umgebung von p definierten differenzierbaren Vektorfeld Y einen Tangentialvektor $\nabla_vY$ (die kovariante Ableitung von Y an der Stelle p in Richtung von v) zuordnet, so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• $\nabla_vY$ hängt linear und differenzierbar von $v \in TM$ ab.
• $\nabla_vY$ ist $\mathbb R$-linear in Y.
• $\nabla_v(fY)=vf\cdot Y+f\cdot\nabla_vY$

für jede in einer Umgebung von p definierte differenzierbare Funktion f.

Ausführlicher formuliert besteht die erste Bedingung aus den folgenden beiden Punkten:

• $\nabla_{\lambda_1v_1+\lambda_2v_2}Y =\lambda_1\cdot\nabla_{v_1}Y+\lambda_2\cdot\nabla_{v_2}Y$

für $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb R$ und $v_1,v_2\in T_pM$

• Ist X ein differenzierbares lokales Vektorfeld, so ist $p\mapsto\nabla_{X_p}Y$ ein differenzierbares Vektorfeld.

Die zweite Bedingung bedeutet:

• $\nabla_v(\lambda_1Y_1+\lambda_2Y_2)=\lambda_1\cdot\nabla_vY_1 + \lambda_2\cdot \nabla_vY_2$

für $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb R$ und lokale Vektorfelder Y₁,Y₂.

Die dritte Bedingung entspricht der Produktregel beim Differenzieren. Mit vf wird dabei die Richtungsableitung der Funktion f in Richtung des Vektors v bezeichnet. Insgesamt verhält sich ein Zusammenhang also so, wie man es von einem Ableitungsoperator erwartet.

Eine äquivalente Beschreibung charakterisiert Zusammenhänge als Abbildungen $\nabla$, die zwei lokalen differenzierbaren Vektorfeldern X,Y ein lokales differenzierbares Vektorfeld $\nabla_XY$ zuordnet, so dass $\nabla_XY$ $C^\infty$-linear in X und $\mathbb R$-linear in Y ist, und so dass

$\nabla_X(fY)=Xf\cdot Y+f\cdot\nabla_XY$

für lokale differenzierbare Funktionen f gilt. Dabei bedeutet $C^\infty$-linear, dass $\nabla_XY$ additiv in X ist und

$\nabla_{fX}Y=f\cdot\nabla_XY$

für lokale differenzierbare Funktionen f gilt.

Wichtigstes Beispiel für einen Zusammenhang ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der es einem auf riemannschen Mannigfaltigkeiten erlaubt, ein Vektorfeld in Richtung eines anderen zu abzuleiten.

Darstellung in Koordinaten: Christoffel-Symbole

Bilden die lokalen Vektorfelder $X_1, \dots, X_n$ in jedem Punkt eine Basis des Tangentialraums, so sind die Christoffel-Symbole definiert durch

$\nabla_{X_i} X_j = \sum_{k = 1}^n \Gamma_{ij}^k X_k \quad$ bzw. $\quad \nabla_{X_i} X_j = \Gamma_{ij}^k X_k \quad$ in einsteinscher Summenkonvention.

Haben die Vektorfelder X und Y bezüglich dieser Basis die Gestalt X = xⁱX_i und Y = y^jX_j, so gilt für die Komponenten z^k von $\nabla_XY = z^k X_k$

$z^k = \Gamma_{ij}^k x^i y^j + x^i X_i(y_k)$ ,

wobei X_i(y_k) die Richtungsableitung der Funktion y_k in Richtung des Vektors X_i bezeichnet.

Wählt man als Basisvektorfelder speziell die durch eine Karte gegebenen Vektorfelder $\partial_1, \dots, \partial_n$, so erhält man die Koordinatendarstellung

$z^k = \Gamma_{ij}^k x^i y^j + x^i \partial_i y_k$ .

Definition: Zusammenhang auf einem Vektorbündel (linearer Zusammenhang)

Ist M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und E ein Vektorbündel auf M, so ist ein Zusammenhang auf E eine Abbildung $\nabla$, die einem lokalen differenzierbaren Vektorfeld X von Tangentialvektoren der Mannigfaltigkeit M eine $\R$-lineare Abbildung

$\nabla_X\colon C^\infty(E)\to C^\infty(E)$

zuordnet, die

$\nabla_X(fe)=Xf\cdot e+f\cdot\nabla_Xe$

für lokale Funktionen f und lokale Schnitte e erfüllt. Außerdem soll $\nabla_X$, $C^{\infty}$-linear in X sein.

Ähnlich wie oben ist auch eine lokalisierte Version dieser Definition mithilfe von Abbildungen

$\nabla_{X_p}\colon C^\infty(E)_p\to E_p$

für Tangentialvektoren $X_p\in T_pM$ möglich.

Siehe auch

• kovariante Ableitung
• Christoffel-Symbole