- Metrischer Zusammenhang
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Ein metrischer Zusammenhang beziehungsweise ein mit der Metrik kompatibler Zusammenhang ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt um einen Spezialfall eines Zusammenhangs.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Sei
eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei
ein Vektorbündel mit (induzierter) Metrik g. Ein Zusammenhang
auf E heißt metrischer Zusammenhang, wenn für alle Schnitte
gilt.
Die Metrik ist also kovariant konstant bezüglich des metrischen Zusammenhangs. Aus dieser Eigenschaft folgt für alle
Beispiele
- Das bekannteste Beispiel eines metrischen Zusammenhangs ist der Levi-Civita-Zusammenhang. In diesem Fall ist das Vektorbündel das Tangentialbündel TM an M mit der riemannschen Metrik von M. Da zu jeder riemannschen Mannigfaltigkeit genau ein Levi-Civita-Zusammenhang existiert, gibt es insbesondere mindestens einen metrischen Zusammenhang auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit.
Affiner Raum
Sei
ein Vektorbündel mit Metrik g, dann ist die Menge der metrischen Zusammenhänge auf E ein nicht leerer affiner Raum modelliert mit den (vektorwertigen) 1-Formen aus
Um die Notation zu vereinfachen wird in diesem Abschnitt durch X die Menge der metrischen Zusammenhänge auf E bezeichnet. Der Raum X ist ein affiner Raum bedeutet, es gibt eine Abbildung
so dass
- für jedes
die Gleichung
gilt,
- für jedes
und für alle
das Assoziativgesetz
gilt und
- für alle
die Abbildung
bijektiv ist.
Literatur
- John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature.. Springer, New York 1997, ISBN 0387983228.
- Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8
- Nicole Berlin, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat Kernels and Dirac Operators. Springer, ISBN 9780387533407
- Ü. Lumiste: Metric connection. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.
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