Metrischer Zusammenhang

Ein metrischer Zusammenhang beziehungsweise ein mit der Metrik kompatibler Zusammenhang ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es handelt um einen Spezialfall eines Zusammenhangs.

Definition

Sei $(M,\tilde{g})$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei $(E \to M,g)$ ein Vektorbündel mit (induzierter) Metrik g. Ein Zusammenhang $\nabla$ auf E heißt metrischer Zusammenhang, wenn für alle Schnitte $X, Y, Z \in \Gamma(E)$

$(\nabla_X g)(Y,Z) = 0$

gilt.

Die Metrik ist also kovariant konstant bezüglich des metrischen Zusammenhangs. Aus dieser Eigenschaft folgt für alle $X, Y, Z \in \Gamma(E)$

$X(g(Y,Z)) =g(\nabla_X Y,Z)+g(Y,\nabla_X Z).$

Beispiele

• Das bekannteste Beispiel eines metrischen Zusammenhangs ist der Levi-Civita-Zusammenhang. In diesem Fall ist das Vektorbündel das Tangentialbündel TM an M mit der riemannschen Metrik von M. Da zu jeder riemannschen Mannigfaltigkeit genau ein Levi-Civita-Zusammenhang existiert, gibt es insbesondere mindestens einen metrischen Zusammenhang auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit.

Affiner Raum

Sei $(E \to M,g)$ ein Vektorbündel mit Metrik g, dann ist die Menge der metrischen Zusammenhänge auf E ein nicht leerer affiner Raum modelliert mit den (vektorwertigen) 1-Formen aus $\mathcal{A}^1(M,\operatorname{End}(E)).$ Um die Notation zu vereinfachen wird in diesem Abschnitt durch X die Menge der metrischen Zusammenhänge auf E bezeichnet. Der Raum X ist ein affiner Raum bedeutet, es gibt eine Abbildung

$l : \mathcal{A}^1(M,\operatorname{End}(E)) \times X \to X,$

so dass

1. für jedes $\nabla \in X$ die Gleichung $0 + \nabla = \nabla$ gilt,
2. für jedes $\omega, \nu \in \mathcal{A}^1(M,\operatorname{End}(E))$ und für alle $\nabla \in E$ das Assoziativgesetz $(\omega + \nu) + \nabla = \omega + (\nu + \nabla)$ gilt und
3. für alle $\nabla \in X$ die Abbildung $\omega \mapsto \omega + \nabla$ bijektiv ist.

Literatur

• John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature.. Springer, New York 1997, ISBN 0387983228.
• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8
• Nicole Berlin, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat Kernels and Dirac Operators. Springer, ISBN 9780387533407
• Ü. Lumiste: Metric connection. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8.