- Dynkin-System
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Ein Dynkin-System ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Es ist benannt nach dem russischen Mathematiker Eugene Dynkin.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Eine Teilmenge
der Potenzmenge
einer nichtleeren Grundmenge Ω heißt Dynkin-System, falls sie die folgenden Eigenschaften besitzt:
- Die ganze Grundmenge ist im System enthalten:
- Das System ist abgeschlossen unter relativer Komplementbildung bezüglich Untermengen:
- Das System ist abgeschlossen bezüglich abzählbarer, disjunkter Vereinigungen:
disjunkt
Da
und
folgt automatisch die Abgeschlossenheit unter Komplementbildung:
.
Aus
und der Abgeschlossenheit bezüglich Komplementbildung folgt somit insbesondere, dass auch die leere Menge
in
ist.
-Operator
Das von einer Menge
erzeugte Dynkin-System ist
wird als Erzeuger von
bezeichnet.
ist das kleinste Dynkin-System, welches
enthält.
Zusammenhang mit σ-Algebra
- Ein Dynkin-System
ist genau dann eine σ-Algebra, wenn es durchschnittsstabil ist.
- Für jede durchschnittsstabile Teilmenge
von
gilt, dass das erzeugte Dynkin-System mit der erzeugten σ-Algebra übereinstimmt:
(siehe σ-Operator).
Beispiele
- Jede σ-Algebra ist ein Dynkin-System.
- Sei Ω = {1,2,3,4}, dann ist
ein Dynkin-System, aber keine σ-Algebra, da {{1,2},{1,3}} nicht durchschnittsstabil ist.
Das Dynkin-System-Argument
Mit Dynkin-Systemen lassen sich in vielen Fällen Aussagen über σ-Algebren relativ einfach beweisen. Sei α eine Aussage, die für Mengen
entweder zutrifft oder nicht. Weiter sei Σ eine σ-Algebra mit einem durchschnittsstabilen Erzeuger
, für dessen Elemente man α zeigen kann. Betrachte nun das Mengensystem
und zeige, dass es ein Dynkin-System ist. Dann folgt wegen der Durchschnittsstabilität von
einerseits
, andererseits gilt aber auch
und damit wegen
schon
.
Die definierenden Eigenschaften eines Dynkin-Systems sind oft einfacher nachzuweisen, weil bei der Abgeschlossenheit gegenüber abzählbarer Vereinigung nur Folgen von paarweise disjunkten Einzelmengen betrachtet werden müssen, während bei σ-Algebren diese Zusatzeigenschaft nicht zur Verfügung steht.
Literatur
- Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. Walter de Gruyter, Berlin - New York 1992, ISBN 3-11-013626-0
Siehe auch
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