Extremwerttheorie

Die Extremwerttheorie ist eine mathematische Disziplin, die sich mit Ausreißern, d. h. maximalen und minimalen Werten von Stichproben, beschäftigt.

Ein zentrales Resultat ist die Tatsache, dass für das Maximum (und das Minimum) einer Stichprobe (egal welcher Verteilung) im Wesentlichen nur drei Grenzverteilungen möglich sind.

Formal: Es seien $X_1, \ldots X_n$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariable mit Werten in den reellen Zahlen und M_n = max _iX_i ihr Maximum. Ferner bezeichne $F(x) = P(M_n < x)\;$ die Verteilungsfunktion von M_n und sei G eine nicht-degenerierte Verteilungsfunktion. Falls dann Folgen $a_n, b_n\;$ existieren, so dass die Konvergenz $F(b_n + a_nx) \rightarrow G(x)\;$ gilt, so kann G nur eine der folgenden Verteilungen sein, je nachdem, ob die Ausläufer der Verteilung exponentiell abfallen, polynomisch abfallen, oder an einer Stelle den Wert Null erreichen:

• Gumbel-Typ (Typ I). Genauer: Wenn die Variable x eine Gumbel-Verteilung hat, so hat log(x) eine Extremwertverteilung vom Typ I.
• Fréchet-Typ (Typ II). Genauer: Wenn die Variable x eine Fréchet-Verteilung hat, so hat 1 / x eine Extremwertverteilung vom Typ II.
• Weibull-Typ (Typ III). Genauer: Wenn die Variable x eine Weibull-Verteilung hat, so hat − x eine Extremwertverteilung vom Typ III.

Diese drei Verteilungen können auch zu einer einzigen Klasse (Jenkinson-von-Mises-Darstellung) parametrisiert werden. Die (oder eine) verallgemeinerte Verteilung heißt Extremwertverteilung. Als Parameter werden oft K, σ und μ verwendet, wobei K<0 eine Typ III Verteilung beschreibt und K>0 eine Typ II Verteilung.

Sie findet unter anderem Anwendung in der Finanzmathematik und Versicherungsmathematik.

Typische Fragestellungen könnten unter anderem sein:

• Wie hoch soll ein Staudamm gebaut werden, wenn man sichergehen möchte, dass er in den nächsten 100 Jahren nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% überschwemmt wird?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines Börsencrashs im kommenden Jahr, der zu einem Kursverfall von mehr als 15% führt?

Literatur

• Emil Julius Gumbel: Statistics of extremes. Columbia University Press, New York (1958).

Weblinks

• Advanced Extremal Models for Operational Risk (pdf-Datei)
• Wenn es um Kopf und Kragen geht: Extremwerttheorie (pdf-Datei)