Fréchet-Verteilung

Die Fréchet-Verteilung ist eine stetige Verteilung über den positiven reellen Zahlen, die einen echt positiven reellen Skalierparameter α nutzt. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.

Verteilungs und Dichtefunktion

Die Fréchet-Verteilung besitzt für einen reellen Parameter α >0 die Verteilungsfunktion

Φ_α(x) = exp( − 1 / x^α)

Die dazugehörige Dichtefunktion ist

${{\phi}_{\alpha}}(x)=\alpha \; x^{-(\alpha+1)} \; e^{-x^{-\alpha}}$

Momente und Median

Im Folgenden sei X eine α-Fréchet-verteilten Zufallsvariable.

Median

Der Median ist

$median(X)=\left(\frac{1}{\log_e(2)}\right)^{1/\alpha}$

Existenz von Momenten

Die k-ten Momente der Fréchet-Verteilung existieren genau dann, wenn α >k.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist

$E(X)= \Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)$.

Varianz

Die Varianz ist

$var(X)= \Gamma\left(1-\frac{2}{\alpha}\right)- \left(\Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)\right)^2$

Schiefe

Die Schiefe ist

$skew(X)= \frac{\Gamma\left(1-\frac {3}{\alpha}\right)-3\Gamma\left(1-\frac {2}{\alpha}\right)\Gamma\left(1-\frac {1}{\alpha}\right)+2\Gamma^3\left(1-\frac {1}{\alpha} \right)}{\sqrt{ \left( \Gamma\left(1-\frac{2}{\alpha}\right)-\Gamma^2\left(1-\frac{1}{\alpha}\right) \right)^3 }}$

Kurtosis

Die Kurtosis ist

$kurtosis(X)= -6+ \frac{\Gamma \left(1-\frac{4}{\alpha}\right) -4\Gamma\left(1-\frac{3}{\alpha}\right) \Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)+3 \Gamma^2\left(1-\frac{2}{\alpha} \right)} {\left[\Gamma \left(1-\frac{2}{\alpha}\right) - \Gamma^2 \left(1-\frac{1}{\alpha}\right) \right]^2}$

Sonstiges

Nach dem Theorem von Fisher-Tippet kann eine standardisierte, nicht-degenerierte Extremwertverteilung nur gegen eine der drei generalisierten Extremwertverteilungen (GEV) konvergieren, von denen eine die Fréchet-Verteilung ist. Sie ist daher eine wichtige Verteilung zur Bestimmung von Risiken in der Finanzstatistik, wie zum Beispiel des Value at Risk und des Expected Shortfall.

Literatur

• Franke, J., Härdle, W., Hafner, C. M.: Statistics of Financial Markets: An Introduction. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2. Auflage (2008), ISBN 3-540-762698
• Franke, J., Hafner, C. M., Härdle, W.: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2. Auflage (2004), ISBN 3-540-405585

Einzelnachweise

• [1] – Jean-Pierre-Stockis, Fachbereich Mathematik der TU Kaiserslautern, Financial Statistics, Part II, abgerufen am 4. Januar 2011

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | kategorial | hypergeometrisch | Rademacher | Zipf | Zipf-Mandelbrot

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | negativ binomial | erweitert negativ binomial | Compound-Poisson | diskret uniform | discrete-Phase-Type | Gauss-Kuzmin | geometrisch | logarithmisch | parabolisch-fraktal | Poisson | Poisson-Gamma | Skellam | Yule-Simon | Zeta