Gumbelverteilung

Die Gumbel-Verteilung ist als eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung eine der drei für die Extremwerttheorie wichtigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie wurde benannt nach Emil Julius Gumbel. Wie die Rossi-Verteilung und die Frechet-Verteilung gehört sie zu den Extremwertverteilungen, die den in einem Zeitraum T zu erwartenden höchsten Messwert berechnen.

Sie wird u.a. in folgenden Bereichen benutzt:

Inhaltsverzeichnis

Dichtefunktion der Gumbel-Verteilung

Eine stetige Zufallsgröße $X$ genügt einer Gumbel-Verteilung, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)= \mathrm{e}^{-x} \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-x}},~ x\in\mathbb{R}$

und damit die Verteilungsfunktion

$F(x)= \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-x}},~ x\in\mathbb{R}$

besitzt.

Die Gumbelverteilung besitzt den Erwartungswert

$\operatorname{E}(X) = \gamma$ .

Dabei ist $\gamma \approx 0,5772$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

Die Varianz ergibt sich analog zu

$\operatorname{Var}(X) = \frac{\pi^{2}}{6}$ .

Daraus erhält man für die Standardabweichung

$\sigma = \frac{\pi}{\sqrt{6}}$ .

Durch die affin-linearen Transformationen $X \mapsto Y := a + bX$ erhält man eine ganze Klasse von Verteilungen, auch Fischer-Tippett-Verteilung genannt, mit den Eigenschaften

$F_Y(x) = F\left(\frac{x-a}{b}\right)$

$f_Y(x) = \frac{1}{b} f\left(\frac{x-a}{b}\right)$

$\operatorname{E}(Y) = b \operatorname{E}(X) + a$

$\operatorname{Var}(Y) = b^2 \operatorname{Var}(X)$ .

Die Gumbel-Verteilung ergibt sich aus der Extremwertverteilung mit den Parametern $a = 0$ , $b = 1$ und $c = 1$ .

Die Gumbel-Verteilung ist äquivalent zur Fisher-Tippett-Verteilung mit den Parametern $a = 0$ und $b = 1$ .

Diskrete univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Ewen's | Multinomial | Dirichlet Multinomial

Multivariate Matrixverteilungen:
Inverse-Wishart | Matrix Normal | Wishart

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