Fundierungsaxiom

Das Fundierungsaxiom (auch: Regularitätsaxiom) ist ein Axiom der Mengenlehre von John von Neumann von 1925,^[1] die in der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre (NBG) aufging, und ein Axiom der verbreiteten Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) von 1930. Ernst Zermelo gab ihm den Namen und eine einfache Formulierung für einen Bereich für Mengen und Urelemente mit folgendem Wortlaut:

Jeder Teilbereich $\,T$ enthält wenigstens ein Element $\,t_0$ , das kein Element $\,t$ in $\,T$ hat.^[2]

Formalisiert lautet das Fundierungsaxiom für den Bereich $\,{B}$:

$\forall T: (\varnothing\neq T\subseteq {B} \implies \exists t_0\in T: \lnot \exist t \in T:t\in t_0)$

Es gibt kürzere Formulierungen des Fundierungsaxioms, bei denen $\,{B}$ als Allklasse interpretiert und aus der Formel eliminiert wird, zum Beispiel folgende Fassung:^[3]

$\forall T: (T\neq \varnothing \implies \exists x\in T: (x\cap T)=\varnothing )$

Das Fundierungsaxiom verhindert unendlich absteigende Elementketten $x_1 \ni x_2 \ni x_3 \ni\dots$, denn man könnte sonst eine Menge $A = \{x_1, x_2, x_3, \dots \}$ bilden, die dem Axiom widerspricht: Für jedes $x_i \in A$ ist $x_{i+1} \in x_i \cap A$, die beiden Mengen sind also nicht disjunkt. Damit sind auch zyklische Elementketten als quasi unendliche Kreise unmöglich: $(x_n = x_1)\land(x_1 \in x_2)\land.....\land(x_{n-1} \in x_n)$. Es gibt somit auch keine Mengen, die sich selbst als Elemente enthalten.

Es gibt auch Mengenlehren ohne Fundierungsaxiom. Dazu gehört die ursprüngliche Zermelo-Mengenlehre, in der Zermelo ausdrücklich Mengen mit $x \in x$ einkalkulierte,^[4] oder die Ackermann-Mengenlehre. Bei beiden kann aber das Fundierungsaxiom hinzugefügt werden, ohne einen (vorher noch nicht vorhandenen) Widerspruch zu erzeugen. Zu nennen ist auch die Mengenlehre von Quine, der Individuen-Mengen $\,x$ durch $\,\{x\}= x$ definierte, so dass diese zirkelhaft sind und das Fundierungsaxiom definitiv nicht gilt.^[5] In solchen Mengenlehren ohne Fundierungsaxiom sind zirkelhafte Mengen möglich, was zeigt, dass diese nicht unbedingt einen Widerspruch erzeugen. Die Bildung gewisser zirkelhafter Mengen wie der Allmenge oder der Menge der Ordinalzahlen, die in der naiven Mengenlehre Widersprüche erzeugen, ist schon in der Zermelo-Mengenlehre ohne Fundierungsaxiom ausgeschlossen. Das Fundierungsaxiom hat nicht den Zweck, Widersprüche zu verhindern, da das Hinzufügen eines Axioms die Menge der beweisbaren Sätze nur vergrößern, nicht aber verkleinern kann.

Vorgeschichte

Die Idee, fundierte Mengen als normale Mengen zu betrachten, geht auf Dmitry Mirimanoff zurück, der 1916 zirkuläre Mengen, die in der Zermelo-Mengenlehre erlaubt waren, als extraordinär bezeichnete.^[6] Diese extraordinären Mengen wollte Abraham Fraenkel 1921 aus der Mengenlehre ausscheiden durch ein Beschränktheitsaxiom, „das dem Mengenbereich den geringsten mit den übrigen Axiomen verträglichen Umfang auferlegt“.^[7] Sein Beschränktheitsaxiom ist aber nicht in der Sprache der Mengenlehre formulierbar. Die erste korrekte Formel, die den Ausschluss extraordinärer Mengen erreichte, gab Neumann 1925 in seinem Beschränktheitsaxiom an,^[1] das aber komplizierter ist als das verbreitete Fundierungsaxiom von Zermelo.

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} John von Neumann: Eine Axiomatisierung der Mengenlehre. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 154 (1925), 219-240, dort §5 VI.4., S. 239
2. ↑ Ernst Zermelo: Über Grenzzahlen und Mengenbereiche. In: Fundamenta Mathematica 16 (1930), S. 31
3. ↑ Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre, 1994, S. 261
4. ↑ Ernst Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, in: Mathematische Annalen 65 (1908), S. 265
5. ↑ Quine, Willard Van Orman: Mengenlehre und ihre Logik, Braunschweig 1973, S. 24
6. ↑ Mirimanoff: Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fondamental de le théorie des ensembles, 1916, in: L‘Enseignement Mathématique 19 (1917) 37-52
7. ↑ Fraenkel, Abraham: Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre, 1921, in: Mathematische Annalen 86 (1922), 230-237, dort S. 233

Axiome und Axiomenschemata der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Axiome: Extensionalitätsaxiom | Fundierungsaxiom | Leermengenaxiom | Paarmengenaxiom | Vereinigungsaxiom | Potenzmengenaxiom | Unendlichkeitsaxiom | Auswahlaxiom

Axiomenschemata: Aussonderungsaxiom | Ersetzungsaxiom