Extensionalitätsaxiom

Das Extensionalitätsaxiom ist ein Axiom der Mengenlehre, das 1888 von Richard Dedekind formuliert wurde und besagt, dass zwei Klassen oder Mengen genau dann gleich sind, wenn sie dieselben Elemente haben.^[1] Von Dedekind übernahm Ernst Zermelo das Extensionalitätsaxiom in die erste axiomatische Mengenlehre, die Zermelo-Mengenlehre von 1907.^[2] Von dort aus kam es in die erweiterte Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF und alle späteren Versionen der axiomatischen Mengenlehre.

Präzisierung

In der heute maßgeblichen prädikatenlogischen Form der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF, in der alle Objekte Mengen sind, lautet das Extensionalitätsaxiom formal:

$\forall A,B\colon (A=B \iff\forall C\colon (C\in A \iff C\in B))$

In Mengenlehren mit Urelementen werden die Variablen auf Mengen eingeschränkt, etwa in ZFU:

$A\text{ ist Menge } \land B\text{ ist Menge } \Rightarrow (A=B \iff\forall C\colon (C\in A \iff C\in B))$

In Mengenlehren mit Klassen wird das Extensionalitätsaxiom allgemeiner mit freien Klassenvariablen gebraucht, etwa in der Ackermann-Mengenlehre:

$A=B \iff\forall C\colon (C\in A \iff C\in B)$

Bedeutung

Das Extensionsionalitätsaxiom garantiert die Eindeutigkeit einer Klasse oder Menge M, deren Elemente durch eine Eigenschaft ihrer Elemente A(x) beschrieben wird, also durch eine Bedingung der Form

$\forall x\colon (x \in M \iff A(x))$

Mit dem Extensionaliätsaxiom und dem üblichen Abstraktionsprinzip folgt daraus dann die Gleichheit:

$M\,=\,\{x|A(x)\}$

Diese Eindeutigkeit ergibt sich insbesondere für die im Leermengenaxiom, Paarmengenaxiom, Potenzmengenaxiom, Vereinigungsaxiom, Aussonderungsaxiom, Ersetzungsaxiom geforderten Mengen und erlaubt dort die Einführung der üblichen Klassenschreibweisen.

Einzelnachweise

1. ↑ R. Dedekind: Was sind und was sollen die Zahlen? , Braunschweig 1888, §1.2, Zitat: Das System S ist daher dasselbe wie das System T, in Zeichen S=T, wenn jedes Element von S auch Element von T und jedes Element von T auch Element von S ist. [1]
2. ↑ E. Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, 1907, in: Mathematische Annalen 65 (1908), 261-281, dort Axiom II S. 263, das Axiom der Bestimmtheit, von der Dedekind a.a.O spricht. Zermelo erwähnt Dedekind einleitend als Vorbild.

Axiome und Axiomenschemata der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Axiome: Extensionalitätsaxiom | Fundierungsaxiom | Leermengenaxiom | Paarmengenaxiom | Vereinigungsaxiom | Potenzmengenaxiom | Unendlichkeitsaxiom | Auswahlaxiom

Axiomenschemata: Aussonderungsaxiom | Ersetzungsaxiom