Geschwindigkeitspotential

Das Geschwindigkeitspotential ϕ führt man für wirbelfreie, zwei- und dreidimensionale Strömungen in der Fluiddynamik ein. Damit vereinfachen sich die Rechnungen und außerdem gewinnt man ein tieferes mathematisch-physikalisches Verständnis. Das Geschwindigkeitspotential in der Fluiddynamik entspricht mathematisch dem elektrostatischen bzw. dem Gravitationspotential.

Dieser Artikel behandelt den zweidimensionalen Fall - der dreidimensionale ist im Artikel Potentialströmung dargestellt.

Löst man die Gleichung ϕ(x,y) = const., so erhält man die Äquipotentiallinien des Strömungsfeldes.

Man führt außerdem die sogenannte "Stromfunktion" ψ ein, deren anschauliche Bedeutung darin besteht, dass die Lösungen der Gleichung ψ(x,y) = const. die Stromlinien des Geschwindigkeitspotentiales darstellen.

Aus dem Geschwindigkeitspotential und der "Stromfunktion" bildet man dann das komplexe Geschwindigkeitspotential.

Grundlagen des Geschwindigkeitspotentials

Für ein wirbelfreies zweidimensionales Strömungsfeld $\vec u(x,y)$ gilt:

$\vec\nabla\times\vec u(x,y)=0$

Ähnlich wie im Fall des elektrostatischen Potentials führt man nun das Geschwindigkeitspotential ϕ(x,y) ein:

$\vec u(x,y)=\vec\nabla\phi(x,y)=\left(\frac{\partial\phi}{\partial x} ,\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)$

Wegen $\vec\nabla\times\vec\nabla\phi(x,y)=0$ ist das Strömungsfeld somit automatisch wirbelfrei.

Ferner gilt für das Geschwindigkeitsfeld im Falle einer inkompressiblen Strömung auch die Kontinuitätsgleichung:

$\vec\nabla\cdot\vec u(x,y)=0$

Setzt man darin die Definition des Geschwindigkeitspotentials ein, so sieht man sofort, dass ϕ(x,y) die Laplace-Gleichung (als Sonderfall der Poisson-Gleichung erfüllt:

$\vec\nabla\cdot\vec u(x,y)=\vec\nabla\cdot\vec\nabla\phi(x,y)=\Delta\phi(x,y)=0$

Die Stromfunktion

Das Geschwindigkeitspotential ϕ(x,y) wurde so eingeführt, dass die Wirbelfreiheit automatisch erfüllt ist. Allerdings musste die Erfüllung der Kontinuitätsgleichung, bzw. der Laplace-Gleichung explizit gefordert werden. Nun führt man die sogenannten Stromfunktion ψ(x,y) ein, die definiert ist durch:

$\vec u=\left( \frac{\partial\psi}{\partial y},-\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)$

Aus dieser Definition sieht man sofort, dass die Kontinuitätsgleichung automatisch erfüllt ist:

$\vec\nabla\cdot\vec u=\frac{\partial^2\psi}{\partial x\partial y} -\frac{\partial^2\psi}{\partial y\partial x}=0$

Die Rotationsfreiheit muss allerdings explizit gefordert werden:

$\frac{\partial u_y}{\partial x}-\frac{\partial u_x}{\partial y}=\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}=0$

Im Unterschied zum Geschwindigkeitspotential erhält man bei der Stromfunktion also die Kontinuität automatisch und muss die Rotationsfreiheit fordern. Ferner erfüllt die Stromfunktion ebenfalls die Laplace-Gleichung.

Komplexes Geschwindigkeitspotential

Mit den Definitionen von Geschwindigkeitspotential ϕ und "Stromfunktion" ψ ergibt sich:

$u_x=\frac{\partial\phi}{\partial x}=\frac{\partial\psi}{\partial y} \quad\wedge\quad u_y=\frac{\partial\phi}{\partial y}=-\frac{\partial\psi}{\partial x}$

Dies ist exakt von der Form der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für eine holomorphe Funktion, mit Realteil ϕ und Imaginärteil ψ. Somit führt man das komplexe Geschwindigkeitspotential w(z) ein:

$w(z)=\phi(z)+i\psi(z) \quad\textrm{mit}\quad z=x+iy$

Damit erfüllt das komplexe Geschwindigkeitspotential ebenfalls die Laplace-Gleichung:

Δw(z) = Δϕ(z) + iΔψ(z) = 0