Loxodrome

Die Loxodrome von A nach B schneidet alle Meridiane im konstanten Winkel η

Die Loxodrome (gr. loxos „schief“, dromos „Lauf“) ist eine Kurve auf einer Kugeloberfläche, die immer unter dem gleichen Winkel die Meridiane im Geographischen Koordinatensystem schneidet und daher auch Kursgleiche, Winkelgleiche oder Kurve konstanten Kurses genannt wird.

Allgemeiner gibt es zu jedem Rotationskörper eine Loxodrome als Kurve konstanten Kurses, die der Kugel heißt speziell Kugelloxodrome, die Loxodrome des Zylinders ist die Helix, die des Kegels die konische Spirale (bzw. konische Helix).

Eigenschaften

Außer bei Spezialfällen, Schnittwinkeln 0° und Schnittwinkeln 90°, ist die Loxodrome nicht geschlossen. Sie windet sich spiralförmig um die Erde herum und nähert sich dabei den Polen an. Im streng mathematischen Sinn erreicht die Loxodrome dabei nie den Pol, sondern nähert sich ihm nur asymptotisch an, während sie sich unendlich oft um die Polregion windet.

Beim Spezialfall eines Schnittwinkels mit einem Meridian von 0° ist die Loxodrome selbst ein Meridian und somit Großkreis, geht also durch die Pole. Das ist auch der einzige Spezialfall einer Loxodrome, die den Pol erreicht. Daraus ergibt sich im Umkehrschluss: Da einzig und allein die Loxodrome 0° den Nordpol erreicht, startet umgekehrt vom Nordpol auch einzig und allein die Loxodrome 180°. Vom geographischen Nordpol aus kommt man also nur in Richtung 180° weg − allerdings ist die Kursangabe 180° am Nordpol nicht definiert: Man könnte mit diesem Kurs vom Nordpol aus sich auf jedem Meridian bewegen – nach Moskau oder Los Angeles oder ... Lediglich die Ankunft am Südpol wird damit garantiert. In der praktischen Navigation wird dieses Problem umgangen, indem in hohen Breitengraden nach der Gitternavigation (engl. grid navigation) mit polarstereographischen Karten navigiert wird.

Beim zweiten Spezialfall – Schnittwinkel 90° – ist die Loxodrome ebenfalls geschlossen, bildet einen Breitenparallel, ist also im Allgemeinen kein Großkreis. Der einzige Breitenkreis, der ein Großkreis ist, ist der Spezialfall des Äquators, wenn also auf der Loxodrome die geographische Breite konstant 0° beträgt.

Projektionen:

• In der Kartografie sind auf Karten in der Mercator-Projektion die Loxodrome als gerade Linien abgebildet.
• In einer stereografischen Projektion wird die Kurve zu einer logarithmischen Spirale
• In einer orthografischen Azimutalprojektion (Parallelriss entlang der Erdachse) entsteht eine Poinsotsche Spirale

In Polnähe hat die Loxodrome also lokal die Eigenschaften einer (ebenen) Spirale, in Äquatornähe aber Eigenschaften einer Helix (räumliche Wendel).

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  Animation einer Loxodrome

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  Loxodrome am Pol

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  Loxodrome am Äquator

Berechnung

Die Formel der Loxodrome (der Steigungswinkel in der Projektion) leitet sich aus der erwähnten Eigenschaft der Mercatorprojektion her, Loxodromen als Geraden abzubilden.

• die Länge wird mit λ
• die Breite mit ϕ bezeichnet

In Richtung Westen ist λ negativ, Richtung Osten positiv; ϕ ist positiv für Breiten der Nordhemisphäre und negativ auf der Südhalbkugel. Beide Winkel werden hier mathematisch im Bogenmaß verwendet, nicht in Grad

• der Richtungswinkel η ist eine konstante Peilung in Richtung wahrer Norden, der Steigungswinkel in der Mercatorprojektion, mit der Steigung k = cot(η)

In Raumkoordinaten

Sei λ die Längenkoordinate eines beliebigen Punktes der Loxodrome (wobei λ nicht auf $\lbrack 0,\, 2 \pi \lbrack$ beschränkt ist).

In der Mercatorprojektion ist die Kurve eine Gerade:

x = λ,y = kλ

Für einen Punkt der Breite ϕ und Länge λ gilt aufgrund der Abbildungvorschrift der Mercatorprojektion

$x= \lambda, \ y=\operatorname {artanh} (\sin \phi)$

Für die Breite des Punkts ergibt sich also ϕ = arcsin(tanh(kλ)) oder, als Gudermannfunktion gd ausgedrückt, $\phi=\operatorname{gd}(k \lambda)$
In kartesischen Koordinaten, mit r als Radius einer Kugel:

$\begin{align} x &= \frac {r \cos \lambda } {\cosh(k \lambda)} &&= r \cos \lambda \cos \left( \frac {1} {\tan (k \lambda)} \right) \\ y &= \frac {r \sin \lambda } {\cosh(k \lambda)} &&= r \sin \lambda \cos \left( \frac {1} {\tan (k \lambda)} \right) \\ z &= r \tanh(k \lambda) &&= - r \sin \left( \frac {1} {\tan (k \lambda)} \right) \end{align}$

Diese Kurve geht bei geographischer Länge 0 durch den Äquator, für beliebige Lagen λ₀ des Äquatordurchgangs ist y = k(λ − λ₀), und in den obigen Formeln ist der Ausdruck (kλ) entsprechend zu ersetzen.

In der Mercatorprojektion

Gegenüberstellung von Loxodrome und Orthodrome

Früher wurde in der See- und Luftfahrt oft mit dem Kompass navigiert. Es war günstig, entlang einer Loxodrome zu reisen, da man dann immer nur einer Peilung (Kompassrichtung) folgen musste. Zwar ist die Strecke der Loxodrome immer länger als die der Orthodrome (nur wenn die Loxodrome auf einem Großkreis liegt, können sie gleich lang sein) – dafür muss man aber nicht ständig einen neuen Kurswinkel berechnen. Auf kürzeren Strecken ist die Navigation auf der Loxodrome nur unwesentlich länger als die Navigation auf der Orthodrome. Im Flugverkehr hingegen werden Lambertsche Schnittkegelprojektionen verwendet.

Die Mercatorprojektion bildet einen Punkt mit den Koordinaten $\, (\phi,\lambda)$ auf die ebenen Koordinaten (X,Y) ab, wobei:

X = M_X(λ) = λ

$Y = M_Y(\phi) = \ln \tan \left(\frac {\phi} {2} + \frac {\pi} {4} \right) = \operatorname{arcgd} (\phi)$

mit der inversen Gudermannfunktion

Durch die Mercatorprojektion zweier Punkte A = (ϕ_A,λ_A) und B = (ϕ_B,λ_B) entsteht in der Projektionsebene ein rechtwinkliges Dreieck mit $\overline{(X_A,Y_A),(X_B,Y_B)}$ als Hypotenuse und dem rechten Winkel bei (X_B,Y_A). Für den Winkel $\, \varphi$ bei (X_A,Y_A) ergibt sich:

$\tan \varphi = \frac{Y_B-Y_A}{X_B-X_A} = \frac{M_Y(\phi_B)-M_Y(\phi_A)}{\lambda_B-\lambda_A}$

Unter Verwendung der zweistelligen Funktion $\, \varphi(y,x)$ die zu den kartesischen Koordinaten $\, x$ und $\, y$ den Winkel der Polarkoordinatendarstellung liefert und als Atan2-Funktion in den meisten Programmiersprachen zur Verfügung steht, erhält man:

$\varphi = \varphi\,(M_Y(\phi_B)-M_Y(\phi_A),\; \lambda_B-\lambda_A) = \varphi\,\left(\ln \frac{\tan (\frac {\phi_B} {2} + \frac {\pi} {4})}{\tan (\frac {\phi_A} {2} + \frac {\pi} {4})},\; \lambda_B-\lambda_A\right)$

Der Richtungswinkel $\,\eta$ der Loxodrome, der von Nord über Ost im Uhrzeigersinn berechnet wird, ist dann:

$\eta = \frac{\pi}{2} - \varphi$

Die Strecke, die man – innerhalb der Mercatorkarte – zwischen Punkt A und B auf der Loxodrome zurücklegt, beträgt:

$l = \sqrt { (\phi_B - \phi_A)^2 + \Big(M_Y(\phi_B)-M_Y(\phi_A)\Big)^2 \cdot (\lambda_B - \lambda_A)^2 }$

Zu beachten ist, dass dies nur die kürzeste Loxodrome ist, wenn λ_B − λ_A < π gilt, sie also in Westrichtung weiter voneinander entfernt sind als in Ostrichtung, im anderen Falle ist das nur der zweitbeste Weg. Außerdem lässt sich zwischen zwei beliebigen Punkten (außer den Polen) immer eine beliebige Anzahl an Loxodromen finden, die dann einmal oder mehrmals die Kugel (Erde) umrunden. Für diese Fälle ist in der anfänglichen Gleichung für Y = M_Y(ϕ) ein anderer Nebenwert des Tangens zu wählen. In der Mercatorprojektion wandert der Graph dabei über den rechten oder linken Rand hinaus und erscheint auf der anderen Seite wieder.

Weblinks

• Escher-Bild einer Loxodrome (M. C. Escher, 1958)

• Orthodrome