Gruppenisomorphismus

Ein Gruppenisomorphismus bezeichnet in der Gruppentheorie einen bijektiven Gruppenhomomorphismus $f\colon G\to H$ zwischen zwei Gruppen $\left(G,\circ\right)$ und $\left(H,\star\right)$.

Ist in obiger Definition $\left(G,\circ\right) = \left(H,\star\right)$, so nennt man f auch einen Gruppenautomorphismus.

Anwendungen finden Gruppenisomorphismen zum Beispiel in den Isomorphiesätzen.

Eigenschaften

• Da ein Gruppenisomorphismus injektiv ist, besteht sein Kern nur aus dem neutralen Element:

$Kern\left(f\right)=\left\{e_G\right\}$

• Sein Bild ist die ganze Gruppe, d.h.:

$Bild\left(f\right)=H$

• Zu jedem Gruppenisomorphismus $f\colon G\to H$ existiert eine eindeutig bestimmte Umkehrfunktion $f^{-1}\colon H\to G$.

Isomorphie von Gruppen

Gruppen, zwischen denen ein solcher Gruppenisomorphismus existiert, nennt man isomorph zueinander: sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente und stimmen für fast alle Zwecke überein.

Es lässt sich leicht zeigen, dass die Isomorphie von Gruppen eine Äquivalenzrelation bildet.

Beispiele

• Für jede Gruppe G ist die identische Abbildung $id\colon G \to G, x \mapsto x$, ein Gruppenautomorphismus.
• Die Exponentialfunktion $\exp\colon\left(\mathbb{R},+\right) \to\left(\mathbb{R}_{>0}, \cdot\right) , x \mapsto e^x$ , ist ein Gruppenisomorphismus.
• Die Konjugation beschreibt einen Gruppenautomorphismus.

Siehe auch

• Isomorphismus
• Automorphismus