- Gruppenisomorphismus
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Ein Gruppenisomorphismus bezeichnet in der Gruppentheorie einen bijektiven Gruppenhomomorphismus
zwischen zwei Gruppen
und
.
Ist in obiger Definition
, so nennt man f auch einen Gruppenautomorphismus.
Anwendungen finden Gruppenisomorphismen zum Beispiel in den Isomorphiesätzen.
Inhaltsverzeichnis
Eigenschaften
- Da ein Gruppenisomorphismus injektiv ist, besteht sein Kern nur aus dem neutralen Element:
- Sein Bild ist die ganze Gruppe, d.h.:
- Zu jedem Gruppenisomorphismus
existiert eine eindeutig bestimmte Umkehrfunktion
.
Isomorphie von Gruppen
Gruppen, zwischen denen ein solcher Gruppenisomorphismus existiert, nennt man isomorph zueinander: sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente und stimmen für fast alle Zwecke überein.
Es lässt sich leicht zeigen, dass die Isomorphie von Gruppen eine Äquivalenzrelation bildet.
Beispiele
- Für jede Gruppe G ist die identische Abbildung
, ein Gruppenautomorphismus.
- Die Exponentialfunktion
0}, \cdot\right) , x \mapsto e^x" border="0"> , ist ein Gruppenisomorphismus.
- Die Konjugation beschreibt einen Gruppenautomorphismus.
Siehe auch
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