Hilbertbasis

In der linearen Algebra bezeichnet man als Orthonormalsystem (ON-System) ("orthonormal" ist eine Zusammensetzung aus "orthogonal" und "normal") eine Teilmenge eines Innenproduktraums, d.h. eines euklidischen Vektorraumes oder eines (Prä-)Hilbertraumes, deren Elemente ein Orthogonalsystem bilden, d.h. zueinander orthogonal sind, und die Norm 1 haben. Wie im Artikel zum Orthogonalsystem gezeigt wird, ist eine solche Teilmenge linear unabhängig.

Jedes Orthonormalsystem kann zu einer Orthonormalbasis erweitert werden. Diese nennt man im Hilbertraum auch vollständiges Orthonormalsystem (VONS oder CON-System, C für engl. "complete") oder Hilbertbasis.

Die Skalarprodukte eines Elementes v des (Prä-)Hilbertraumes mit den Elementen eines Orthogonalsystems (e_k) nennt man Fourierkoeffizienten, die mit diesen Koeffizienten und den entsprechenden Elementen des ON-Systems gebildete Reihe

$P(v):=\sum_{k\in I}\langle v,\,\mathbf e_k\rangle\cdot \mathbf e_k$

ist die orthogonale Projektion auf den vom ON-System aufgespannten Unterraum. Es gilt die Besselsche Ungleichung

$\|Pv\|^2=\sum_{k\in I} |\langle v,\,\mathbf e_k\rangle|^2\le \|v\|^2$.

Gilt das Gleichheitszeichen, so ist Pv=v; gilt immer das Gleichheitszeichen, so ist das ON-System vollständig.