Fourierkoeffizient

Als Fourierreihe (nach Jean Baptiste Joseph Fourier) einer periodischen Funktion f(x), die abschnittsweise stetig ist, bezeichnet man deren Entwicklung in eine Funktionenreihe aus Sinus- und Kosinusfunktionen.

Die Basisfunktionen der Fourierreihe bilden das bekannteste Beispiel für ein orthogonales Funktionensystem. Im Rahmen der Theorie der Hilberträume werden auch Entwicklungen nach einem beliebigen vollständigen Orthonormalsystem als Fourierreihe bezeichnet.

Geschichte

Bereits im 18. Jahrhundert kannten Mathematiker wie Euler, Lagrange oder die Bernoullis Fourierreihen für einige Funktionen. Zu Beginn des 19. Jahrhundert behauptete nun Fourier in seinem Werk Théorie analytique de la chaleur, dass es für alle Funktionen solche Reihenentwicklungen gebe. Diese Behauptung stieß zunächst bei führenden Mathematikern wie Cauchy und Abel auf Ablehnung.

Dirichlet konnte 1829 beweisen, dass Fouriers Behauptung zumindest für Lipschitz-stetige Funktionen zutrifft. Du Bois-Reymond fand 1873 eine stetige Funktion, deren Fourierreihe divergiert. Im 20. Jahrhundert gelangte man schließlich zur Erkenntnis, dass es auch für stetige oder stückweise stetige Funktionen konvergente Fourierreihen gibt, wenn der Konvergenzbegriff geeignet abgeschwächt wird.

Darstellungsformen

Die Partialsummen einer Fourierreihe sind trigonometrische Polynome. Wie diese können Fourierreihen in drei gleichwertigen Formen dargestellt werden. Zu jeder dieser Darstellungen gibt es zugehörige Formeln zum Bestimmen der Koeffizienten bzw. Parameter der Fourierreihenentwicklung einer periodischen Funktion.

Eine Fourierreihenentwicklung einer periodischen Funktion f mit Periode T>0 ist in den folgenden, schrittweise allgemeiner werdenden Fällen möglich:

1. wenn f stetig und abschnittsweise stetig differenzierbar ist; die Fourierreihe konvergiert dabei punktweise und gleichmäßig.
2. wenn f eine beschränkte totale Variation über einer Periode hat, und die Funktionswerte von f mit dem Mittel aus den links- und rechtsseitigen Grenzwerten übereinstimmen, $2\,f(x)=f(x+0)+f(x-0)$ für alle $x\in\R$; die Fourierreihe konvergiert dann nur punktweise.
3. wenn f, auf eine Periode [c,c + T] eingeschränkt, dem Funktionenraum L²([c,c + T]) angehört; mit Konvergenz im Sinne der L²–Norm.

Allgemeine Form

Eine periodische Funktion f mit Periode T>0, die einer der angegebenen Klassen angehört, lässt sich durch eine Reihe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz ω = 2π / T sind,

$\displaystyle f(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k \cdot \cos(k \omega t) + b_k \cdot \sin(k \omega t))$.

Die Kreisfrequenz ω skaliert hierbei die Periode 2π von Sinus und Kosinus auf die entsprechende Periode T. In der praktischen Anwendung wird man die Reihe häufig nach endlich vielen Reihengliedern abbrechen. Man erhält dann nur eine Approximation von f in Form eines trigonometrischen Polynoms.,

$\displaystyle f_n(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n (a_k \cdot \cos(k \omega t) + b_k \cdot \sin(k\omega t))$.

Diese endliche Summe wird dann Teilsumme f_n(t) der Fourierreihe genannt. Das so entstehende trigonometrische Polynom ist, unter allen trigonometrischen Polynomen der gleichen Struktur, dasjenige mit minimalem mittleren quadratischen Fehler zur ursprünglichen Funktion f.

Die Koeffizienten der Entwicklung von f sind

$\displaystyle a_n=\frac{2}{T}\int_{c}^{c+T} f(t) \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t$ und $\displaystyle b_n=\frac{2}{T}\int_{c}^{c+T} f(t) \cdot \sin(n\omega t)\, \mathrm{d}t$

Das c stellt eine Verschiebung des Intervalls dar und kann zur Vereinfachung beliebig gewählt werden.

$\displaystyle\frac{a_0}{2}=\frac{1}{T}\int_{c}^{c+T} f(t) \mathrm{d}t$ ist der Gleichanteil (wechsellose Größe)

Einfache Eigenschaften dieser Entwicklung sind, dass

• b_n = 0 für alle n gilt, falls f gerade ist, f( − x) = f(x)
• a_n = 0 für alle n gilt, falls f ungerade ist, f( − x) = − f(x)

Sind alle b_n = 0, d.h. ist f gerade, so kann a_n auch über $\textstyle a_n=\frac{4}{T} \int_{c}^{c+{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t$ berechnet werden. Dies ist möglich, weil durch die Symmetrie des Kosinus und der Funktion die Werte des Integrals in beiden Halbintervallen gleich sind. So ergeben sich oft Vereinfachungen. Umgekehrt gilt dies auch für a_n = 0.

Ist die zugrundeliegende Funktion unbekannt bzw. liegen nur gegebene diskrete Daten (z. B. Messwerte) vor, werden a_n, b_n nur aus den Stützpunkten approximiert (Trigonometrische Interpolation).

Amplituden-Phasen-Notation

In der obigen Darstellung wird das Signal mit Hilfe eines Sinusspektrums und eines Kosinusspektrums dargestellt. Es ist aber auch eine Darstellung mittels Phasen- und Amplitudenspektrums möglich, da man die additive Überlagerung (Interferenz) einer Sinus- und einer Kosinusschwingung auch als phasenverschobene Kosinusschwingung darstellen kann:

$\displaystyle f(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (A_n \cos(n\omega t - \varphi_n))$

Dabei ist

$\displaystyle A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$ und

$\varphi_n=\begin{cases} \arctan{\frac {b_n} {a_n}}, & \mbox{wenn }a_n \ge 0 \\ \arctan{\frac {b_n} {a_n}}+\pi, & \mbox{wenn }a_n < 0 \end{cases}$

bzw.

$\displaystyle \varphi_n=2\arctan{\frac {b_n} {A_n+a_n}}$

$\varphi_n$ zeigt in den Quadranten, in welchem auch der Punkt (a_n,b_n) liegt.

Komplexe Fourierreihe

Man kann nun jedes Paar von Amplitude und Verschiebung als komplexe Zahl in Polarkoordinatendarstellung interpretieren. Damit lassen sich die beiden Spektren in eines überführen. Eine Vereinfachung von geraden bzw. ungeraden Funktionen wie im Reellen ist so jedoch nicht möglich.

$\displaystyle f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}n\omega t}$

Dabei ist

$\displaystyle c_n =\frac1T\int_{c}^{c+T} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\omega t} dt$

Die Berechnung ist oft einfacher, da zum einen die e-Funktion leicht zu integrieren ist und zum anderen nur noch ein Koeffizient statt zwei zu berechnen ist.

Zusammenhang zwischen reellen und komplexen Fourierkoeffizienten

Reell zu komplex:

$\displaystyle c_n = \frac{(a_{-n} + \mathrm{i} b_{-n})}{2} \mbox{ bei } n<0$

$\displaystyle c_0 = \frac{a_0}{2}$

$\displaystyle c_n = \frac{(a_n - \mathrm{i} b_n)}{2} \mbox{ bei }n>0$

Komplex zu reell:

$\displaystyle a_0 = 2 \cdot c_0$

$\displaystyle a_n = c_n + c_{-n}\!$

$\displaystyle b_n = \mathrm{i} (c_n - c_{-n})\!$

Beispiele

Dreieckpuls

Verschiedene Näherungen eines Dreieckpulses

Die Dreieckfunktion lässt sich je nach gewünschter Phasenlage mit Sinus- und Kosinustermen approximieren. Mit h kann man die Amplitude der Kurve bestimmen:

$\begin{array}{rl} f(t) =& -\frac{8h}{\pi^2}\left[ {\cos{\omega t} + \frac{1}{3^2} \cos{3 \omega t} + \frac{1}{5^2} \cos{5 \omega t} + \cdots}\right] \\[.6em] =& -\frac{8h}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty \dfrac{ \cos ((2k-1) \omega t)}{(2k-1)^2} \end{array}$

$\begin{array}{rl} f(t) =& \frac{8h}{\pi^2}\left[ {\sin {\omega t} - \frac {1}{3^2}\sin{3 \omega t} + \frac {1}{5^2}\sin {5 \omega t} \mp \cdots}\right] \\[.6em] =& \frac {8h}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \dfrac{ \sin((2k-1) \omega t)}{(2k-1)^2} \end{array}$

Rechteckpuls

Verschiedene Näherungen eines Rechteckpulses

Gleiches gilt für den Rechteckpuls:

$\begin{array}{rl} f(t) =& \frac{4h}{\pi}\left[ {\sin {\omega t} + \frac {1}{3}\sin{3 \omega t} + \frac {1}{5}\sin{5 \omega t} + \cdots}\right] \\[.6em] =& \frac{4h}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \dfrac{ \sin\left( (2k-1)\omega t \right) }{2k-1} \end{array}$

$\begin{array}{rl} f(t) =& \frac{4h}{\pi}\left[ {\cos {\omega t} - \frac {1}{3}\cos{3 \omega t} + \frac {1}{5}\cos{5 \omega t} \mp \ldots}\right] \\[.6em] =& \frac{4h}{\pi} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \dfrac{\cos\left( (2k-1)\omega t \right)}{ 2k-1} \end{array}$

Sägezahnpuls (steigend)

Verschiedene Näherungen eines Sägezahnpulses

Ebenso lassen sich punktsymmetrische Funktionen aus Sinustermen approximieren. Hier erreicht man eine Phasenverschiebung durch alternierende Vorzeichen:

$\begin{array}{rl} f(t) =&- \frac{2h}{\pi}\left[ {\sin {\omega t} - \frac {1}{2}\sin{2 \omega t} + \frac {1}{3}\sin {3 \omega t} \mp \cdots}\right] \\[.6em] =& - \frac {2h}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1} \dfrac {\sin k \omega t}{k} \end{array}$

Sinuspuls

Verschiedene Näherungen eines Sinuspulses

$\begin{array}{rl} f(t) =& h\left| \sin {\omega t} \right|\\[.6em] =& \frac{4h}{\pi}\left[ \frac{1}{2} - \frac { \cos {2 \omega t}}{3}-\frac { \cos {4 \omega t}}{15}-\frac { \cos {6 \omega t}}{35}- \cdots\right] \\[.6em] =& \frac{2h}{\pi} - \frac{4h}{\pi} \sum_{k=1}^{\infin} \dfrac { \cos {2 k\omega t}}{(2k)^2-1} \end{array}$

Gibbssches Phänomen

Gibbssches Phänomen bei einer Rechteckkurve

Hauptartikel: Gibbssches Phänomen

In der Umgebung von Sprungstellen entstehen bei der Fourierreihe typische Über- und Unterschwinger von etwa 18% der Sprunghöhe, da dort die Reihe nicht mehr gleichmäßig, sondern nur noch punktweise konvergiert. Dieser Effekt hat weitreichende Auswirkungen in der Signalverarbeitung.

• Siehe auch: Diskrete Fourier-Transformation

Weblinks

• Falstad Fourier Series Java Applet Mit diesem Java-Applet kann man sich zeigen lassen, wie Fourier-Reihen entwickelt werden.
• Mathe-Online Fourier Applet Weiteres Applet zur Entwicklung von Fourier-Reihen.
• Bernhard Riemann: Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe
• Spektren periodischer Zeitfunktionen (PDF) Fourier-Zerlegung physikalisch mit Hilfe einer graphischen Veranschaulichung betrachtet.

Siehe auch

• Orthogonalität
• Fourier-Transformation