Impulserhaltung

Der Impulserhaltungssatz eignet sich, um das Verhalten eines Kugelstoßpendels zu verstehen.

Der Impulserhaltungssatz ist einer der wichtigsten Erhaltungssätze der Physik und besagt, dass der Gesamtimpuls in einem abgeschlossenen System konstant ist. „Abgeschlossenes System“ bedeutet, dass das System keine Wechselwirkungen mit seiner Umgebung hat.

Die Impulserhaltung gilt sowohl in der klassischen Mechanik als auch in der speziellen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik. Sie gilt unabhängig von der Erhaltung der Energie und ist etwa bei der Beschreibung von Stoßprozessen von grundlegender Bedeutung, wo der Satz besagt, dass der Gesamtimpuls aller Stoßpartner vor und nach dem Stoß gleich sein muss. Impulserhaltung gilt sowohl, wenn die kinetische Energie beim Stoß erhalten bleibt (elastischer Stoß), als auch dann, wenn dies nicht der Fall ist (unelastischer Stoß).

Impulserhaltung in der Newton'schen Mechanik

Der Impulserhaltungssatz folgt direkt aus dem zweiten und dritten Newton'schen Axiom. Gemäß dem zweiten Newton'schen Axiom ist die auf einen Körper wirkende Kraft gleich der Änderung des Impulses mit der Zeit, also

$\mathbf{F} = \dot \mathbf p$

Wenn keine Kräfte von außen wirken, muss es gemäß dem dritten Newton'schen Axiom („actio = reactio“) für jede Kraft eine gleich große, aber entgegengesetzt wirkende Gegenkraft geben; die Vektorsumme dieser Kräfte ist daher null. Da dies für alle Kräfte gilt, ist auch die Vektorsumme aller im System auftretender Kräfte und damit auch die Änderung des Gesamtimpulses gleich Null. Es gilt also

$\mathbf F = \sum_i^n \mathbf F_i = \sum_i^n \dot \mathbf p_i = \dot \mathbf p = 0$,

wodurch p eine Konstante ist. Wenn der Impuls nur von der Geschwindigkeit abhängt, bedeutet dies, dass sich der Massenschwerpunkt mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.

Die Impulserhaltung ist auch mit der Aussage äquivalent, dass sich der Massenmittelpunkt (Schwerpunkt) eines Systems ohne äußere Kraft mit konstanter Geschwindigkeit und Richtung bewegt (dies ist eine Verallgemeinerung des ersten Newton'schen Axioms, das ursprünglich nur für einzelne Körper formuliert wurde).

Impulserhaltung im Lagrange-Formalismus

Im Lagrange-Formalismus folgt die Impulserhaltung für ein freies Teilchen direkt aus den Bewegungsgleichungen. Die Lagrangefunktion für ein Teilchen in einem Potential V(q) ist allgemein

$L = \frac{1}{2}m\dot q^2 - V(q)$.

Die Bewegungsgleichungen lauten:

$\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{\rm d}{{\rm d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot q} = 0\ \ \Rightarrow\ \ -\frac{\partial V}{\partial q} - \frac{\rm d}{{\rm d}t} (m\dot q) = 0$.

Hängt V nicht von q ab (d.h. durch das Potential wirkt keine Kraft auf das Teilchen, man spricht von einem freien Teilchen), so folgt

$\frac{\rm d}{{\rm d}t} (m\dot q) = 0$.

Dies ist gerade die Impulserhaltung der Newton'schen Mechanik.

Im Lagrange-Formalismus ist die gleiche Ableitung auch für die Erhaltung des Drehimpulses möglich, wenn man generalisierte Koordinaten verwendet.

Impulserhaltung als Folgerung der Homogenität und Isotropie des Raumes

Impulserhaltung

Unter der Homogenität des Raumes versteht man eine Verschiebungsinvarianz; d.h. ein Prozess am Punkt A wird nicht anders ablaufen, wenn er stattdessen an irgendeinem anderen Punkt B stattfindet. Es besteht kein physikalischer Unterschied zwischen den Punkten A und B in dem Sinne, dass der Raum bei B andere Eigenschaften besäße als bei A. Aus dieser Eigenschaft folgt die Impulserhaltung auf folgende Weise:

Es sei eine generalisierte Koordinate q_i, die eine Verschiebung beschreibt und die Lagrangefunktion muss gemäß der Homogenität des Raumes unter dieser Verschiebung invariant bleiben. Dann ist q_i eine zyklische Koordinate und der zugehörige generalisierte Impuls ist erhalten.

Der Vektor $\mathbf r_i(q_i)$ sei also um dq_i in irgendeine Richtung verschoben, dann ergibt sich durch Taylor-Entwicklung

$\mathbf r_i(q_i + \mathrm d q_i) = \mathbf r_i(q_i) + \frac{\partial \mathbf r_i}{\partial q_i}\mathrm d q_i$.

Der Ausdruck

$\mathbf n_i:= \frac{\partial \mathbf r_i}{\partial q_i}$

ist ein Vektor, der die Verschiebungsrichtung angibt. Der zur zyklischen Koordinate q_i zugehöriege generalisierte Impuls ist dann

$p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial T}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial}{\partial \dot q_i} \left(\sum_i^n \frac{1}{2}m_i \dot \mathbf r^2_i \right) = \sum_i^n \left(m_i \dot \mathbf r_i \frac{\partial \dot \mathbf r_i}{\partial \dot q_i}\right)$.

Hierbei wurde im ersten Rechenschritt angenommen, dass das Potential V nicht von der generalisierten Geschwindigkeit abhängt. Nun benutzt man, dass

$\frac{\partial \dot \mathbf r_i}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial \mathbf r_i}{\partial q_i}$

gilt. Damit folgt schließlich

$\sum_i^n \left(m_i \dot \mathbf r_i \frac{\partial \mathbf r_i}{\partial q_i}\right) = \sum_i^n \left(m_i \dot \mathbf r_i \right) \mathbf n_i = \mathbf p \mathbf n$.

Demnach ist die Projektion des Gesamtimpulses in Richtung der Verschiebung erhalten. Wenn $\mathbf n$ ein Einheitsvektor ist, ist der generalisierte Impuls mit dieser Projektion identisch. Ist dies nicht der Fall, unterscheidet er sich durch einen konstanten Faktor davon.

Anmerkung: Das Noether-Theorem

Die oben abgeleiteten Erhaltungssätze sind eigentlich Spezialfälle einer allgemeineren Formulierung, die von Emmy Noether gegeben wurde. Mit dem Noether-Theorem wird allgemein festgelegt unter welchen Umständen es sich bei einer Größe eines physikalischen Systems um eine Erhaltungsgröße handelt und wie diese aussieht.

Impulserhaltung im Kristallgitter

Ein Spezialfall ist ein ideales Kristallgitter, in dem die Translation (Verschiebung) um einen Gittervektor eine Symmetrieoperation ist, also wieder zu einer vom ursprünglichen Gitter nicht unterscheidbaren Anordnung führt; andere Verschiebungen ergeben ein Gitter, dessen Gitterpunkte nicht mehr mit den ursprünglichen Gitterpunkten zusammenfallen. In diesem Fall gilt die Impulserhaltung mit der Einschränkung, dass zum Impuls ein mit dem planckschen Wirkungsquantum $\hbar$ multiplizierter Gittervektor $\mathbf{G}$ des reziproken Gitters addiert werden kann:

$\mathbf{p}_{\rm nachher} = \mathbf{p}_{\rm vorher} + \hbar\mathbf{G}$

Es kann also Impuls nicht in beliebigem Ausmaß an das Kristallgitter transferiert werden, sondern nur in diskreten Schritten, die durch das reziproke Gitter bestimmt werden. Wenn der Impuls für den kleinsten solchen Schritt zu klein ist, z. B. bei sichtbarem Licht im Inneren eines Kristalls, gilt wieder die Impulserhaltung wie im freien Raum. Daher wird sichtbares Licht in Kristallen nicht gebeugt, hingegen kann Röntgenstrahlung, die einen höheren Impuls hat, gebeugt werden. Die Impulserhaltung unter Berücksichtigung des reziproken Gittervektors ist in diesem Fall äquivalent zur Bragg-Gleichung.