Inversion am Kreis

Die Inversion, Spiegelung am Kreis oder Kreisspiegelung ist eine spezielle Abbildung der ebenen Geometrie, die das Innere und das Äußere eines gegebenen Kreises miteinander vertauscht.

Definition

Für die Kreisspiegelung an einem Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r ist der Bildpunkt P' eines Punktes P dadurch festgelegt, dass P' auf der Halbgeraden [MP liegen und die Bedingung

$\overline{MP'} = \frac{r^2}{\overline{MP}}$

erfüllen muss. Dabei darf der ursprüngliche Punkt P nicht mit dem Mittelpunkt M übereinstimmen. Gelegentlich umgeht man dieses Problem, indem man einen neuen Punkt zur Ebene hinzufügt und diesen als Bildpunkt von M definiert. Der Bildpunkt dieses neuen Punktes ist der Mittelpunkt des Inversionskreises. Häufig ist nur der Mittelpunkt M, nicht jedoch der Radius r wichtig, sodass man einen Kreis mit beliebigem Radius (z. B. 1) zeichnen kann. Hierfür hat sich der Ausdruck Inversion an einem Punkt eingebürgert.

In der Funktionentheorie behandelt man die Inversionen und die von ihnen erzeugten Kreisverwandtschaften am besten in der komplexen ("Gaußschen") Zahlenebene. Eine Inversion am Einheitskreis wird dabei durch die Abbildung $z \mapsto \frac 1{\overline z}$ beschrieben.

Konstruktion

Mit Zirkel und Lineal

Der Urbildpunkt P wird mit Zirkel und Lineal am Inversionskreis (rot) gespiegelt, es ergibt sich der Bildpunkt P'.

• Liegt P auf dem gegebenen Kreis, so ist P' gleich P.

• Falls der Punkt P im Kreisinneren liegt, zeichnet man die zu der Geraden MP senkrechte Kreissehne durch P und die beiden Kreistangenten in den Endpunkten dieser Sehne. P' ergibt sich dann als Schnittpunkt dieser Tangenten.

• Liegt der Punkt P dagegen im Äußeren des Kreises, so beginnt man mit den beiden Kreistangenten durch P. Anschließend bringt man die Verbindungsstrecke der beiden Berührpunkte mit der Geraden MP zum Schnitt. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Bildpunkt P'.

Der Beweis, dass man so den Bildpunkt erhält, folgt direkt aus dem Kathetensatz.

Mit Zirkel allein

Der Urbildpunkt P wird nur mit Hilfe eines Zirkels am Inversionskreis (rot) gespiegelt, es ergibt sich der Bildpunkt P'.

Liegt der Punkt P außerhalb des Inversionskreises, so zeichnet man um P einen Kreis durch den Mittelpunkt des Inversionskreises. Dieser schneidet den Inversionskreis in zwei Punkten. Zeichne auch um diese Punkte Kreise durch den Mittelpunkt. Diese beiden Kreise schneiden sich nun im Bildpunkt P'.

Liegt P auf dem Kreis, so ist keine Konstruktion notwendig, es gilt P'=P.

Liegt P innerhalb des Kreises, geht man folgendermaßen vor: Zunächst halbiert man den Inversionskreis so oft, bis man einen neuen Kreis erhält, der den Punkt P nicht mehr enthält. (Dies ist mit Zirkel allein möglich.) Anschließend konstruiert man wie oben den Bildpunkt von P, wobei die Inversion am neuen Kreis durchgeführt wird. Zuletzt verdoppelt man den Abstand des Bildpunktes doppelt so oft wie man den Radius halbiert hat. (Auch dies ist mit Zirkel allein möglich.) Dieser Punkt ist der gesuchte Bildpunkt.

Auf Grund der Komplexität dieses Verfahrens wird man die Konstruktion wohl kaum durchführen, sie spielt allerdings in der Theorie eine wichtige Rolle, da man so zeigen kann, dass man mit Zirkel allein alle Konstruktionen durchführen kann, die mit Zirkel und Lineal möglich sind.

Mit anderen Hilfsmitteln

Es gibt mechanische Geräte, die extra für die Inversion am Kreis konstruiert wurden, zum Beispiel den Inversor von Peaucellier.

Eigenschaften

• Die Abbildung vertauscht Inneres und Äußeres des Inversionskreises, die Punkte auf dem Rand sind Fixpunkte.

• Wendet man die Inversion zweimal an, so erhält man wieder die Ausgangssituation, die Inversion ist also eine Involution.

• Die Inversion ist eine konforme Abbildung, d. h. sie ist winkeltreu. Insbesondere werden Objekte, die sich berühren auch wieder auf solche abgebildet.

• Die Inversion kehrt wie die Geradenspiegelung die Orientierung um.

• Geraden, die durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verlaufen, werden auf sich selbst abgebildet.

• Geraden, die nicht durch den Mittelpunkt verlaufen, werden auf Kreise abgebildet, die durch den Mittelpunkt gehen.

• Kreise, die durch den Mittelpunkt verlaufen, werden auf Geraden abgebildet, die nicht durch den Mittelpunkt gehen.

• Kreise, die nicht durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verlaufen, werden wieder auf solche Kreise abgebildet. Allerdings wird der Mittelpunkt des ursprünglichen Kreises durch die Inversion nicht auf den Mittelpunkt des Bildkreises abgebildet.

• Insbesondere werden Kreise, die den Inversionskreis rechtwinklig schneiden, auf sich selbst abgebildet.

Da die Inversion also nicht einmal geradentreu ist, ist sie im Gegensatz zur Punkt-, Achsen- oder Ebenenspiegelung keine Kongruenzabbildung.

Literatur

• Coxeter, H. S. M., und S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie, Klett Stuttgart 1983
• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 121-127 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry), S. 43-57

Weblinks

• Vladimir S. Matveev: Inversion am Kreis (Kreispiegelung). Teil eines Skripts zur Linearen Algebra der Uni Jena (PDF).
• Inversion auf cut-the-knot (engl.)
• Eric W. Weisstein: Inversion auf MathWorld (englisch)