Kongruenzabbildung

Ein Rechteck und ein rechtwinkliges Dreieck (1) mit drei zur Originalfigur kongruenten Figuren; die vermittelnden Kongruenzabbildungen sind im Gegenuhrzeigersinn
Achsenspiegelung (2)
Verschiebung (3)
Drehung (4)

Unter einer Kongruenzabbildung (von lat. congruens = übereinstimmend, passend) versteht man in der Elementargeometrie und der synthetischen Geometrie eine geometrische Abbildung, bei der Form und Größe von beliebigen geometrischen Figuren nicht verändert werden, das heißt jede Figur wird dabei auf eine zu ihr kongruente abgebildet. Die Begriffe „Kongruenzabbildung“ und „Bewegung“ sind für die euklidische Geometrie gleichbedeutend, wobei meistens nur ebene Bewegungen als „Kongruenzabbidung“ bezeichnet werden. Es sind Abbildungen, die den Abstand von zwei beliebigen Punkten unverändert (invariant) lassen.

Darstellung und Eigenschaften

Kongruenzabbildungen in der Zeichenebene sind Abbildungen dieser Zeichenebene auf sich, die sich stets durch Hintereinanderausführung (Verkettung, Komposition) von senkrechten Achsenspiegelungen zusammensetzen lassen. Es zeigt sich, dass dabei nie mehr als drei Achsenspiegelungen nötig sind.

Kongruenzabbildungen sind geraden-, längen- und winkeltreu. Sie bilden also Geraden auf Geraden ab und lassen Streckenlängen und Winkelgrößen unverändert. Sie sind auch bijektiv, das heißt umkehrbar und ihre Umkehrabbildungen sind immer auch Kongruenzabbildungen.

Die Menge der ebenen Kongruenzabbildungen besteht aus

• Spiegelungen, genauer den Punkt- und den senkrechten Achsenspiegelungen, nicht jedoch Kreisspiegelungen und Schrägspiegelungen,
• Drehungen,
• (Parallel-)Verschiebungen (Translationen) und
• Gleit-/Schubspiegelungen.

Algebraisch gesehen bilden die Kongruenzabbildungen der Zeichenebene eine Gruppe. Kongruenzabbildungen sind spezielle Ähnlichkeitsabbildungen, noch allgemeiner gehören sie zu den Affinitäten.

In der analytischen Geometrie werden Kongruenzabbildungen mit Hilfe orthogonaler Matrizen beschrieben.

Geometrische Konstruktion in der Zeichenebene

Der allgemeine Fall

Beispiel für die Konstruktion einer Kongruenzabbildung, hier eine Drehung

Zu zwei gegebenen, kongruenten Dreiecken A₀B₀C₀ und A₂B₂C₂ (bei der Kongruenz ist der Punkt A₀ dem Punkt A₂ zugeordnet usw.) lässt sich stets eine eindeutig bestimmte Kongruenzabbildung konstruieren. Vergleiche die Abbildung rechts: Gegeben sind die beiden Dreiecke, deren Eckpunkte durch rote bzw. grüne Strecken verbunden sind.

1. Konstruiere die Mittelsenkrechte a₁ der Strecke A₀A₂.
2. Konstruiere die Spiegelpunkte von B₀ und C₀ (B₁ bzw. C₁) bei der Spiegelung σ₁ an der Achse a₁. In dem Sonderfall, dass A₀ = A₂ ist, entfallen die ersten beiden Schritte, dann setzt man B₁ = B₀ und C₁ = C₀.
3. Konstruiere die Mittelsenkrechte a₂ der Strecke B₁B₂. Da das Dreieck A₀B₀C₀ nach Konstruktion kongruent zu A₂B₁C₁ und nach Voraussetzung zu A₂B₂C₂ ist, sind die Strecken A₂B₁ und A₂B₂ gleich lang, das Dreieck A₂B₁B₂ somit gleichschenklig und a₂ geht auch durch A₂.
4. Konstruiere den Spiegelpunkt C₁' von C₁ bei der Spiegelung σ₂ an a₂. In dem Sonderfall, dass B₁ = B₂ ist, entfällt der 3. und 4. Schritt und man setzt C₁' = C₁.
5. Nun können zwei Fälle auftreten: Entweder es gilt bereits C₁' = C₂, wie in dem abgebildeten Beispiel, dann ist die Kongruenzabbildung durch die Komposition der genannten Achsenspiegelungen darstellbar oder man muss noch eine Spiegelung an der Verbindungsgeraden A₂B₂ durchführen die dann nach Voraussetzung C₁' auf C₂ spiegelt. (Hier wird der Kongruenzsatz SSS in der Form verwendet: Sind zwei verschiedene Punkte A und B der Ebene vorgegeben, dann gibt es höchstens zwei Punkte C, so dass die Streckenlängen $\overline{AC}=b$ und $\overline{BC}=a$ mit fest vorgegebenen Zahlen a,b erfüllen. Gibt es zwei Punkte C,C' mit diesen Eigenschaften, dann geht das Dreieck ABC durch die Achsenspiegelung an der Verbindungsgeraden AB in das Dreieck ABC' über.)

Eine Verkettung von zwei Spiegelungen an parallelen Achsen ergibt eine Verschiebung; zusätzlich ist hier für die erste Spiegelung $A_0\mapsto A_1$ dargestellt, wie das Spiegelbild mit Hilfe von zwei Kreisen um beliebige Hilfspunkte auf der Achse konstruiert werden kann

Abgesehen von den beiden in 2. und 4. genannten Sonderfällen, also in den Fällen, in denen σ₁,σ₂ zwei verschiedene Achsenspiegelungen sind, ist die folgende Fallunterscheidung interessant:

1. Schneiden sich die beiden Achsen der Spiegelungen in einem Punkt Z, dann ist die Abbildung $\sigma_2\circ\sigma_1$ eine Drehung um Z und der Drehwinkel der Drehung ist doppelt so groß wie ein orientierter Winkel $\alpha=<\!\!\!)\, (a_1,a_2)$ zwischen den beiden Achsen. Ein orientierter Winkel α ist dabei Drehwinkel einer der beiden Drehungen um Z, die a₁ auf a₂ abbilden, welche der Drehungen man wählt ist gleichgültig.
2. Sind die beiden Achsen parallel, dann ist die Abbildung $\sigma_2\circ\sigma_1$ eine Verschiebung um einen Verschiebungsvektor, dessen Länge das Doppelte des Abstands der beiden Achsen beträgt und hat dieselbe Richtung wie die zu den Achsen senkrechte Verschiebung $\vec{v}$, die a₁ auf a₂ verschiebt, vergleiche die Abbildung rechts: Es gilt offenbar $\overrightarrow{A_0A_1}/2+\overrightarrow{A_1A_2}/2=\vec{v}$.

Außerdem ergibt sich aus dem Konstruktionstext, dass die Kongruenzabbildung zwischen zwei ebenen, kongruenten Figuren durch drei Punkt-Bildpunktpaare eindeutig festgelegt ist, sofern die drei gewählten Urbildpunkte nicht auf einer gemeinsamen Gerade liegen. Mit anderen Worten: Die Gruppe der Kongruenzabbildungen operiert scharf einfach transitiv auf jeder Kongruenzklasse von Dreiecken (aufgefasst als geordnete Punkttripel). Das ist der inhaltliche Grund dafür, dass in der Elementargeometrie die Kongruenzsätze für Dreiecke eine überragende Rolle spielen.

Schubspiegelung und Spiegelung

Sind zwei Dreiecke gegensinnig kongruent, dann können sie stets durch eine Schubspiegelung aufeinander abgebildet werden

Zwei gegebene, gegensinnig kongruente Dreiecke A₀B₀C₀ und A₂B₂C₂ (bei der Kongruenz ist der Punkt A₀ dem Punkt A₂ zugeordnet usw.) können stets durch eine Schubspiegelung aufeinander abgebildet werden, vergleiche die Abbildung rechts:

1. Verschiebe das Dreieck A₀B₀C₀ (rot) mit der durch $\overrightarrow{A_0A_2}$ definierten Verschiebung auf das (gleichsinnig kongruente) Dreieck A₂B₁C₁. Im Sonderfall A₀ = A₂ ist diese Verschiebung die identische Abbildung.
2. Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke B₁B₂ (grün). Wie beim 3. Schritt der allgemeinen Konstruktion sieht man, dass diese Mittelsenkrechte auch durch A₂ gehen muss.
3. Spiegele das Dreieck A₂B₁C₁ an der Mittelsenkrechten aus dem 2. Schritt, das ergibt ein Dreieck A₂B₂C₁'. Aus dem Kongruenzsatz SSS (siehe oben beim 5. Schritt der allgemeinen Konstruktion) und der Voraussetzung, dass die vorgegebenen Dreiecke gegensinnig kongruent sind, folgt C₁' = C₂. In dem Sonderfall, dass B₁ = B₂ ist, entfällt der 2. Schritt und im 3. Schritt wird an der Verbindungsgeraden A₂B₂ gespiegelt. Dass damit C₁ auf C₂ abgebildet wird, folgt in diesem Sonderfall aus den gleichen Gründen wie bei der Spiegelung an der Mittelsenkrechten im allgemeinen Fall.

Aus diesem Konstruktionstext folgt:

• Zwei gegensinnig kongruente Dreiecke lassen sich stets durch eine Schubspiegelung aufeinander abbilden.

• Die Verschiebung ist bei dieser Schubspiegelung sicher dann die identische Abbildung, die Schubspiegelung also eine reine Spiegelung, wenn mindestens ein Paar von zugeordneten Eckpunkten bei der Kongruenz einen Punkt der Ebene sich selbst zuordnet.
• Genau dann, wenn eine der Strecken zwischen zugeordneten Punkten A₀A₂, B₀B₂, C₀C₂ die Länge 0 hat oder die Mittelsenkrechten aller drei Strecken zusammenfallen, ist die Schubspiegelung eine reine Spiegelung.

• Sind zwei Dreiecke gegensinnig kongruent und stimmen sie in mindestens einem Eckpunkt, der sich selbst zugeordnet ist, überein, dann stimmen sie in zwei solchen Eckpunkten überein oder die Mittelsenkrechten der anderen beiden Strecken zwischen zugeordneten Punkten fallen zusammen. Das ist eine Verallgemeinerung der oben genannten Formulierung des Kongruenzsatzes SSS.

Zusammen mit dem allgemeinen Konstruktionstext ergibt sich:

• Eine nichtidentische Drehung ist immer als Komposition von zwei verschiedenen Achsenspiegelungen darstellbar. Diese Achsenspiegelungen sind durch die Drehung im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, ihre Achsen schneiden sich jedoch stets im Zentrum der Drehung und für den Winkel zwischen den Achsen gilt die oben beschriebene Beziehung zum Winkel der Drehung.
• Die Hintereinanderausführung einer Drehung und einer Achsenspiegelung in beliebiger Reihenfolge ist stets eine Schubspiegelung.

Darüber hinaus gilt:

• Die Hintereinanderausführung einer Verschiebung und einer nichtidentischen Drehung in beliebiger Reihenfolge ist eine Drehung.
• Im allgemeinen wird eine Schubspiegelung – Verschieben um einen Vektor $\vec{v}$ und anschließend Spiegeln an einer Achse a – zu einer anderen Schubspiegelung, wenn man die Reihenfolge der beiden Kongruenzabbildungen vertauscht.

Abgrenzung zu den Bewegungen

Vom Standpunkt der analytischen Geometrie besteht kein Unterschied zwischen den Begriffen Kongruenzabbildung und Bewegung. In der Elementargeometrie nennt man aber in der Regel nur eine Bewegung der euklidischen Ebene Kongruenzabbildung, also nur Bewegungen im zweidimensionalen Fall.

Schulmathematik

Die Schulmathematik geht zunächst von der Zeichenebene aus.^[1] Der Begriff „Kongruenz“ wird für einfache Figuren (Dreiecke, Vierecke, Kreise, ...) erfahrbar gemacht:

• Man kann eine Figur, die idealerweise auf durchscheinendes Papier oder Folie gezeichnet ist, ausschneiden und so auf die andere Figur legen, dass beide „zur Deckung kommen“, also sind die beiden Figuren „deckungsgleich“.
• Man kann zwei deckungsgleiche Figuren mit ein und derselben „Schablone“ zeichnen.

Darauf aufbauend wird später die Erfahrung gemacht, dass man „manchmal“ die Kongruenz von Figuren ohne Ausschneiden zeichnerisch einsehen kann.

1. Manchmal kann man zwei Figuren, die auf dem gleichen durchscheinenden Blatt gezeichnet sind, ohne Ausschneiden durch Falten des Papiers zur Deckung bringen. Das Falten kann man dann zur Konstruktion einer Achsenspiegelung abstrahieren.
2. Anstatt eine Figur wirklich auszuschneiden und „unverdreht“ zu verschieben, kann man die Verschiebung durch parallele und gleich lange Pfeile an den Eckpunkten einer Figur abstrakt darstellen.
3. Ähnlich kann man auch eine wirkliche, physische Drehung einer ausgeschnittenen Figur, die an einem inneren Punkt mit einer Nadel festgepinnt ist, abstrakt zeichnerisch mit den Bewegungskreisen der Eckpunkte darstellen.

Die Tatsache, dass man mit diesen drei zeichnerischen Abstraktionen und ihren Kombinationen alle „experimentellen“ Kongruenzbeweise durch Ausschneiden und Übereinanderlegen ersetzen kann, sollte intuitiv erfasst werden. (Mathematisch ausgedrückt: Dass die Gruppe der Kongruenzabbildungen durch Achsenspiegelungen, Verschiebungen und Drehungen erzeugt wird.) Bewiesen wird dagegen, dass man jede Verschiebung und jede Drehung durch zwei geeignete Achsenspiegelungen ersetzen kann.

Ein Beispiel für die Probleme, die in der Schulmathematik auftreten, ist die Abgrenzung zwischen „Gleichheit“ von geometrischen Objekten und „Kongruenz“: Intuitiv und umgangssprachlich werden zwei gleich lange, also kongruente Strecken als „gleich“ angesehen und bezeichnet. Die Schülervorstellung, dass jedenfalls zwischen gleichsinniger Deckungsgleichheit und Identität von Figuren nicht unterschieden werden müsste, stellt ein didaktisches Problem dar.

Einigen Problemen kann dadurch begegnet werden, dass exemplarisch „echte Deduktionen“, also Beweise wirklich erarbeitet werden, bei denen die kongruenten Figuren aufgrund der Problemstellung nicht identisch sein können bzw. bei denen es auf die Reihenfolge der zugeordneten Punkte bei der Kongruenz ankommt.

Synthetische Geometrie

Beim axiomatischen Aufbau einer euklidischen Ebene in der synthetischen Geometrie gehören die Begriffe „Kongruenzabbildung“ und „ebene Bewegung“ zu unterschiedlichen deduktiven Ansätzen:

1. Von der Kongruenz zur Kongruenzabbildung: Man beschreibt die Kongruenz als Grundbegriff axiomatisch. In Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie wird diese durch zwei Äquivalenzrelationen auf der Menge der Strecken und der Winkel der Ebene realisiert (Gruppe III, Axiome der Kongruenz). Dann ist eine Kongruenzabbildung eine bijektive Selbstabbildung der Ebene, bei der jede Kongruenzklasse auf sich abgebildet wird.^[2]
2. Vom Spiegelungsbegriff zur Bewegungsgruppe: Man stattet die Ebene mit einer axiomatisch definierten Orthogonalitätsrelation aus. Das ermöglicht dann die Definition von senkrechten Achsenspiegelungen, siehe dazu präeuklidische Ebene. Eine Bewegung der Ebene ist dann jede Abbildung, die sich als Komposition von endlich vielen solchen Achsenspiegelungen darstellen lässt. Damit ist die Bewegungsgruppe grundlegend und Kongruenz ein abgeleiteter Begriff: Zwei Figuren sind kongruent, wenn sie zur gleichen Bahn der Gruppenoperation gehören, bei der die Bewegungsgruppe auf der Menge aller Teilmengen der Ebene (Potenzmenge) operiert.^[3]

Die Schulgeometrie in Deutschland orientiert sich in aller Regel an einem deduktiven Ansatz nach Hilbert, bei dem die Kongruenz ein Grundbegriff ist. Man spricht dann in der Ebene überhaupt nur von Kongruenzabbildungen und der Begriff Bewegung tritt, wenn überhaupt, erst in der dreidimensionalen Geometrie auf.

Literatur

• Hans Schupp: Elementargeometrie. Schöningh, Hannover 1977, ISBN 3-506-99189-2.

Kongruenz in der Schulmathematik:

• Marianne Frank; Friedhelm Padberg (Hrsg.): Didaktik der Geometrie. nachgedruckte Auflage. Spektrum, Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin 2000, ISBN 3-8274-0994-2.

Synthetische Geometrie:

• Friedrich Bachmann: Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff. 2. Auflage. Berlin/Göttingen/Heidelberg 1974. - Zusammenfassung: Zur Begründung der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff. Mathematische Annalen, Bd. 123, 1951, S. 341 ff.
• David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. neue Auflage. Teubner, Stuttgart 1999, ISBN 3-519-00237-X.Online-Kopie der Ausgabe von 1903

Die folgenden Bücher geben neben einem deduktiven Aufbau der Geometrie auch Hinweise für die Anwendung in der Didaktik der Geometrie für Gymnasien:

• Wendelin Degen und Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Günter Pickert: Deduktive Geometrie im Gymnasialunterricht. In: Mathematische Semesterberichte X, S. 202–223. Springer, 1964.
• Lothar Profke: Von der affinen zur euklidischen Geometrie mit Hilfe einer Orthogonalitätsrelation. In: Der Mathematikunterricht 22:4 (Axiomatik affiner und euklidischer Ebenen), 36-86. Friedrich, Hannover 1976, S. 36-86.

Einzelnachweise

1. ↑ Frank (2000)
2. ↑ Hilbert (1903)
3. ↑ Bachmann (1974) und Profke (1976)