Kanonische Transformation

In der klassischen Mechanik bezeichnet man eine Koordinatentransformation im Phasenraum als kanonisch, wenn sie die Hamiltonschen Gleichungen invariant lässt. Ziel dabei ist, die neue Hamilton-Funktion möglichst zu vereinfachen, im Idealfall sogar unabhängig von einer oder mehreren Variablen zu machen. Kanonische Transformationen sind der Ausgangspunkt zum Hamilton-Jacobi-Formalismus und bieten (als Berührungstransformationen) ein mächtigeres Werkzeug als Punkttransformationen, die in der Lagrange'schen Mechanik vorkommen, da diese als Spezialfall aus den kanonischen Transformationen hervorgehen. Kanonische Transformationen können aus sogenannten erzeugenden Funktionen konstruiert werden.

Definition

Gegeben sei ein dynamisches System mit f Freiheitsgraden und der Hamilton-Funktion H(q,p,t), die von den Koordinaten $q=(q_1,\ldots,q_f)$ und Impulsen $p=(p_1,\ldots,p_f)$ und eventuell von der Zeit abhängt. Die kanonischen Gleichungen (Hamiltonsche Bewegungsgleichungen) lauten somit:

$\dot{q}_{i}=\frac{\partial}{\partial p_{i}}H(q,p,t)\ ,\quad \dot{p}_{i}=-\frac{\partial}{\partial q_{i}}H(q,p,t)$

Eine Koordinatentransformation $(q,p) \rightarrow (Q,P)$ mit $Q=(Q_1(q,p,t),\ldots,Q_f(q,p,t))$ und $P=(P_1(q,p,t),\ldots,P_f(q,p,t))$ heißt kanonisch, wenn eine neue Hamilton-Funktion $\tilde{H}(Q,P)$ existiert, sodass in den transformierten Koordinaten die kanonischen Gleichungen erfüllt sind:

$\dot{Q}_i = \frac{\partial}{\partial P_i} \tilde{H}(Q,P,t)\ ,\quad \dot{P}_i = -\frac{\partial}{\partial Q_i} \tilde{H}(Q,P,t)$

Eigenschaften

Poisson-Klammern

Die Poisson-Klammer der Funktionen f und g bzgl. q und p sind durch

$\left\{f,g\right\}_{q,p} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i} \right)$

definiert. Wenn die Transformation $(q,p) \rightarrow (Q,P)$ kanonisch ist, gilt:

$\left\{f,g\right\}_{q,p}=\left\{f,g\right\}_{Q,P}$

Außerdem kann man mithilfe der Poisson-Klammern ein allgemeines Kriterium finden, wann eine Transformation kanonisch ist und zwar genau dann, wenn für die fundamentalen Poisson-Klammern

$\left\{ Q_i,P_j \right\}_{q,p} = \delta_{ij} \;,\;\;\; \left\{ Q_i,Q_j \right\}_{q,p} = \left\{ P_i,P_j \right\}_{q,p} = 0$

gilt. Dabei ist δ_ij das Kronecker-Delta.

Erzeugende Funktionen

Kanonische Transformationen können durch erzeugende Funktionen (kurz auch Erzeugende) gefunden und konstruiert werden. Von diesen Funktionen gibt es vier Klassen. Z.B. kann die erzeugende Funktion von den alten und neuen Koordinaten abhängen, also F(q,Q,t), andere Erzeugende hängen von anderen Kombinationen aus Koordinaten und Impulsen ab, wobei jeweils transformierte und untransformierte Variablen auftreten müssen. Der Zusammenhang zwischen alten und neuen Koordinaten kann aus dem Hamiltonschen Extremalprinzip

$\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left(\dot{q}_{k}p_{k}-H\right)\mathrm{d}t=\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left(\dot{Q}_{k}P_{k}-\tilde{H}\right)\mathrm{d}t=0$

hergeleitet werden (es wird Summenkonvention verwendet). Die Differenz beider Ausdrücke muss ebenfalls null sein und kann somit nur die totale Zeitableitung einer Funktion sein, deren Variation an den Rändern bei t₁ und t₂ verschwindet:

$0=\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left(\dot{q}_{k}p_{k}-\dot{Q}_{k}P_{k}+\tilde{H}-H\right)\mathrm{d}t=\delta\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left(\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}\right)\mathrm{d}t=\delta F(t_{2})-\delta F(t_{1})$

Dies führt zur Beziehung:

$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}=p_{k}\dot{q}_{k}-P_{k}\dot{Q}_{k}+\tilde{H}-H$

Wenn F eine Funktion der alten und neuen Koordinaten F₁(q,Q,t) ist, so ist deren totale Zeitableitung

$\frac{\mathrm{d}F_{1}(q,Q,t)}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial F_{1}}{\partial q_{k}}\dot{q}_{k}+\frac{\partial F_{1}}{\partial Q}\dot{Q}_{k}+\frac{\partial F_{1}}{\partial t}$

und man kann die partiellen Ableitungen von F₁ nach q bzw. Q sowie nach t aus der Zeile vorher direkt ablesen:

$\frac{\partial F_{1}(q,Q,t)}{\partial q_{k}}=p_{k}\ ,\ \qquad\frac{\partial F_{1}(q,Q,t)}{\partial Q_{k}}=-P_{k}\ ,\ \qquad\frac{\partial F_{1}(q,Q,t)}{\partial t}=\tilde{H}-H$

Mit den ersten beiden Ableitungen lassen sich die alten Koordinaten als Funktion der neuen ausdrücken: q_k = q_k(Q,P,t) und p_k = p_k(Q,P,t)

Durch Legendre-Transformation dieser Gleichungen lassen sich ähnliche Beziehungen zwischen alten und neuen Koordinaten herleiten. Insgesamt gibt es vier Klassen, da die Legendre Transformation für F die Transformationen $q\leftrightarrow p$ und $Q\leftrightarrow P$ durchführt, ergeben sich 2 mal 2 Möglichkeiten. Als Beispiel transformieren wir F₁(q,Q,t) in F₂(q,P,t):

$\begin{align} \mathrm{d}F_{1} & =p_{k}\mathrm{d}q_{k}-P_{k}\mathrm{d}Q_{k}+(\tilde{H}-H)\mathrm{d}t\\ & =p_{k}\mathrm{d}q_{k}-\mathrm{d}(P_{k}Q_{k})+Q_{k}\mathrm{d}P_{k}+(\tilde{H}-H)\mathrm{d}t \end{align}$

Bringt man d(P_kQ_k) auf die linke Seite

$\mathrm{d}F_{2}:=\mathrm{d}(F_{1}+P_{k}Q_{k})=p_{k}\mathrm{d}q_{k}+Q_{k}\mathrm{d}P_{k}+(\tilde{H}-H)\mathrm{d}t$

erhält man eine Funktion F₂ = F₁ + PQ, die von q, P und t abhängt, wobei die partiellen Ableitungen lauten:

$\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{k}}=p_{k}\ ,\quad\frac{\partial F_{2}}{\partial P_{k}}=Q_{k}\ ,\quad\frac{\partial F_{2}}{\partial t}=\tilde{H}-H$

Überblick über alle möglichen erzeugenden Funktionen:

$\begin{align} F_{1}(q,Q,t) & & \frac{\partial F_{1}(q,Q,t)}{\partial q_{j}} & =p_{j} & \frac{\partial F_{1}(q,Q,t)}{\partial Q_{j}} & =-P_{j} & \frac{\partial F_{1}(q,Q,t)}{\partial t} & =\tilde{H}-H\\ F_{2}(q,P,t) & =F_{1}+Q_{k}P_{k} & \frac{\partial F_{2}(q,P,t)}{\partial q_{j}} & =p_{j} & \frac{\partial F_{2}(q,P,t)}{\partial P_{j}} & =Q_{j} & \frac{\partial F_{2}(q,P,t)}{\partial t} & =\tilde{H}-H\\ F_{3}(p,Q,t) & =F_{1}-q_{k}p_{k} & \frac{\partial F_{3}(p,Q,t)}{\partial p_{j}} & =-q_{j} & \frac{\partial F_{3}(p,Q,t)}{\partial Q_{j}} & =-P_{j} & \frac{\partial F_{3}(p,Q,t)}{\partial t} & =\tilde{H}-H\\ F_{4}(p,P,t) & =F_{1}-q_{k}p_{k}+Q_{k}P_{k}\quad & \frac{\partial F_{4}(p,P,t)}{\partial p_{j}} & =-q_{j}\qquad & \frac{\partial F_{4}(p,P,t)}{\partial P_{j}} & =Q_{j}\qquad & \frac{\partial F_{4}(p,P,t)}{\partial t} & =\tilde{H}-H\end{align}$

Für alle vier Klassen von erzeugenden Funktionen gilt: Die Hamilton-Funktion in transformierten Koordinaten $\tilde{H}(Q,P)$ unterscheidet sich von der untransformierten Hamilton-Funktion H(q,p) durch eine partielle Zeitableitung der erzeugenden Funktion, also

$\tilde{H}(Q,P)=H(q,p)+\frac{\partial F}{\partial t}$.

Kanonische Transformationen, deren erzeugende Funktion nicht explizit von der Zeit abhängt, heißen kanonische Transformationen im engeren Sinne.

Spezielle erzeugende Funktionen

Im Folgenden wollen wir eine kanonische Transformation betrachten, deren neue Hamiltonfunktion identisch Null ist:

$\tilde{H}(Q,P,t)=0$

Dann folgt aus den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen, dass alle Variablen zyklisch sind:

$\dot{Q}_i = 0 \ ,\quad \dot{P}_i = 0$

Dies führt zur Beziehung:

$\frac{\mathrm{d}F_1}{\mathrm{d}t}=p_{k}\dot{q}_{k}-P_{k}\dot{Q}_{k}+\tilde{H}-H=p_{k}\dot{q}_{k}-H=L$

oder

$\frac{\mathrm{d}F_2}{\mathrm{d}t}=p_{k}\dot{q}_{k}+Q_{k}\dot{P}_{k}+\tilde{H}-H=p_{k}\dot{q}_{k}-H=L$

D.h. F ist gleich der Wirkung des Systems (genauer: das unbestimmte Wirkungsintegral):

$F=\int L(q,\dot{q}) \, \mathrm{d}t + \mathrm{const}$

Aus $\tilde{H}(Q,P)=0$ ergibt sich mit der Wahl F = F₂ die Differentialgleichung

$0=H(q,p)+\frac{\partial F_2}{\partial t}=H(q,\frac{\partial F_2}{\partial q})+\frac{\partial F_2}{\partial t}$

Diese Gleichung ist die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung.

Symplektische Struktur

Weiterhin zeigt sich, dass die Funktionalmatrizen kanonischer Transformationen, also

$M = \begin{pmatrix} \frac{\partial Q}{\partial q} & \frac{\partial Q}{\partial p} \\ \frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \\ \end{pmatrix}\in \mathbb{R}_{2f \times 2f}$

eine symplektische Gruppe bilden, also folgende Eigenschaft besitzen:

$~M^{T} \mathcal{J} M = \mathcal{J}$

mit

$\mathcal{J} = \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm{id}_{\mathbb{R}^f} \\ \mathrm{id}_{\mathbb{R}^f}& 0 \\ \end{pmatrix}$

Literatur

• H. Goldstein: Klassische Mechanik. Wiley-VCH. ISBN 978-3527405893