- Killing-Feld
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Ein Killing-Vektorfeld (benannt nach dem deutschen Mathematiker Wilhelm Killing) ist ein Vektorfeld auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit, das die Metrik erhält. Killing-Vektorfelder sind die infinitesimalen Generatoren von Isometrien (siehe auch Lie-Gruppe).
Wenn die Koeffizienten von gμν in einer Basis von dxa unabhängig von der Ortskoordinate xk sind, ist automatisch ein Killing-Vektorfeld, wobei das Kroneckerdelta ist.
Inhaltsverzeichnis
Erklärung
Ein Vektorfeld X ist ein Killing-Vektorfeld, wenn die Lie-Ableitung der Metrik g bezüglich X verschwindet:
Drückt man dies mithilfe des Levi-Civita-Zusammenhangs aus, bedeutet dies
für alle Vektoren Y und Z. In lokalen Koordinaten führt dies zur sogenannten Killing-Gleichung
Ein Killing-Feld ist eindeutig bestimmt durch einen Vektor an einem Punkt und seinen kovarianten Gradienten auf der ganzen Raumzeit.
Ein Vektorfeld ist genau dann ein Killing-Vektorfeld, wenn es entlang jeder Geodätischen ein Jacobi-Vektorfeld ist.
Erhaltungsgrößen
Da Killing-Vektorfelder Isometrien generieren, gibt es in der Physik zu jedem Killing-Vektorfeld eine Erhaltungsgröße der entsprechenden Raumzeit. In der allgemeinen Relativitätstheorie sind Killing-Vektorfelder daher von großer Bedeutung zur Charakterisierung von Lösungen der einsteinschen Feldgleichungen. Die Erhaltungsgröße Q zu einem Killing-Vektorfeld X berechnet sich dabei als
wobei T der Energie-Impuls-Tensor und |g| der Betrag der Determinante des metrischen Tensors ist. In der Formel wurde die einsteinsche Summenkonvention verwendet.
Beispiel
Ein Satz unabhängiger Killing-Vektorfelder der Einheitssphäre S2 mit der induzierten Metrik ds2 = dθ2 + sin2(θ)dφ2 in Kugelkoordinaten sind:
Alle Linearkombinationen dieser Vektorfelder stellen wieder Killing-Vektorfelder dar.
Literatur
- Steven Weinberg: Gravitation and Cosmology. John Wiley & sons, New York 1972, ISBN 0-471-92567-5.
- Jürgen Jost: Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-42627-2.
- Adler, Ronald; Bazin, Maurice & Schiffer, Menahem: Introduction to General Relativity. 2. Auflage. McGraw-Hill, New York 1975, ISBN 0-07-000423-4 (siehe Kapitel 2 und 9).
- Misner, Thorne, Wheeler: Gravitation. W. H. Freeman and Company, 1973, ISBN 0-7167-0344-0.
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