Lie-Ableitung

In der Analysis bezeichnet die Lie-Ableitung (nach Sophus Lie) die Ableitung eines Vektorfeldes oder allgemeiner eines Tensorfeldes entlang eines Vektorfeldes. Mit ihrer Hilfe kann eine Lie-Klammer für Vektorfelder definiert werden, wodurch die Menge aller Vektorfelder einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit zu einer Lie-Algebra wird.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie und in der geometrischen Formulierung der Hamiltonschen Mechanik wird die Lie-Ableitung verwendet, um Symmetrien aufzudecken, diese zur Lösung von Problemen auszunutzen und beispielsweise Konstanten der Bewegung zu finden.

Lie-Ableitung für Funktionen

Ist X ein Vektorfeld, so ist die Lie-Ableitung einer differenzierbaren Funktion f die Anwendung von X auf f:

$\mathcal L_Xf=Xf.$

Genauer:

Es seien M eine n-dimensionale $\mathcal{C}^\infty$-Mannigfaltigkeit, $f\colon M \to \R$ eine glatte Funktion und X ein glattes Vektorfeld auf M. Die Lie-Ableitung $\mathcal{L}_X f(p)$ der Funktion f nach X im Punkt $p\in M$ ist definiert als die Richtungsableitung von f nach X(p):

$\mathcal{L}_X f(p) := X_p(f) = d_p f(X(p))$

In lokalen Koordinaten $(x_1, ..., x_n) \colon U \subseteq M \to \R^n$ lässt sich das Vektorfeld darstellen als

$X = \sum_{j=1}^n X_j \frac{\partial}{\partial x_j}$, mit $X_j \colon U \to \R$.

Für die Lie-Ableitung ergibt sich dann

$\mathcal{L}_X f(p)= \sum_{j=1}^n X_j(p) \frac{\partial f}{\partial x_j} (p)$

Lie-Ableitung von Vektorfeldern

Sind X und Y zwei Vektorfelder, so ist die Lie-Ableitung von Y nach X die Lie-Klammer der beiden Vektorfelder:

$\mathcal L_XY=[X,Y].$

Diese ist wie folgt definiert:

Seien $X,\,Y$ zwei glatte Vektorfelder auf einer n-dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit M. Dann wird durch

$[X,Y] := X \circ Y - Y \circ X,$

wieder ein glattes Vektorfeld auf M definiert, die Lie-Klammer von X und Y. Die Definition bedeutet: Für jede glatte Funktion auf M gilt

$[X,Y](f) = X( Y(f)) - Y ( X(f))\,.$

In lokalen Koordinaten haben die Vektorfelder eine Darstellung

$X = \sum_{j=1}^n X_j \frac{\partial}{\partial x_j}$ bzw. $Y = \sum_{j=1}^n Y_j \frac{\partial}{\partial x_j}$.

Dann gilt:

$[X,Y] = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{k=1}^n X_k \frac{\partial Y_j}{\partial x_k} - \sum_{k=1}^n Y_k \frac{\partial X_j}{\partial x_k}\right) \frac{\partial}{\partial x_j}$

Manchmal wird die Lie-Klammer auch mit umgekehrten Vorzeichen definiert, also $[X,Y] := Y \circ X - X \circ Y$ statt $[X,Y] := X \circ Y - Y \circ X$.

Allgemeine Definition

Für ein Tensorfeld T und ein Vektorfeld X mit lokalem Fluss Φ_t ist die Lie-Ableitung von T bezüglich X definiert als

$\mathcal L_XT=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Phi_{t}^* T|_{t=0}.$

$\mathcal L_X$ ist $\R$-linear in X und für festes X eine Derivation der Tensoralgebra, die mit der Kontraktion verträglich ist. Die Lie-Ableitung ist dadurch und durch ihre Werte auf Funktionen und Vektorfeldern bereits eindeutig charakterisiert.

Im Unterschied zu einem Zusammenhang ist $\mathcal L_X$ nicht $\mathcal C^\infty$-linear in X.

Eigenschaften und Lie-Algebra

Der Vektorraum $\mathcal{C}^\infty(M,\R)$ aller glatten Funktionen $M \to \R$ ist bezüglich der punktweisen Multiplikation eine Algebra. Die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes X ist dann eine $\R$-lineare Derivation $\mathcal{L}_X : \mathcal{C}^\infty(M,\R) \to \mathcal{C}^\infty(M,\R)$, d.h. sie hat die Eigenschaften

• $\mathcal{L}_X$ ist $\mathbb{R}$-linear
• $\mathcal{L}_X(f g)=(\mathcal{L}_X f) g + f\mathcal{L}_X g$ (Leibniz-Regel)

Bezeichne $\mathcal{X}(M)$ die Menge aller glatten Vektorfelder auf M, dann ist die Lie-Ableitung auch eine $\R$-lineare Derivation auf $\mathcal{C}^\infty(M,\R) \times \mathcal{X}(M)$, und es gilt:

• $\mathcal{L}_X(fY)=(\mathcal{L}_Xf) Y + f\mathcal{L}_X Y$ (Leibniz-Regel)
• $[X,[Y,Z]] = \mathcal{L}_X [Y,Z] = [\mathcal{L}_X Y,Z] + [Y,\mathcal{L}_X Z] = [[X,Y],Z] + [Y,[X,Z]]$ (Jacobi-Identität)

Dadurch wird $\mathcal{X}(M)$ zu einer Lie-Algebra.

Definition der Lie-Ableitung auf Differentialformen

Sei M eine $\mathcal{C}^\infty$-Mannigfaltigkeit, X ein Vektorfeld auf M und $\alpha \in \Lambda^{k+1}(M)$ eine (k + 1)-Differentialform auf M. Durch Evaluation kann man eine Art inneres Produkt zwischen X und α definieren:

$(i_X\alpha) (X_1, \ldots, X_k) = (k+1)\alpha (X,X_1, \ldots, X_k)\,$

und erhält die Abbildung:

$i_X:\Lambda^{k+1}(M) \to \Lambda^k(M), \; \alpha \mapsto i_X\alpha$

Diese Abbildung hat die folgenden Eigenschaften:

• i_X ist R-linear
• für beliebiges $f\in \Lambda^0(M)$ gilt i_fXα = fi_Xα
• Sei β eine beliebige Differentialform über M und $\alpha\in\Lambda^k(M)$

$i_X (\alpha \wedge \beta) = (i_X \alpha) \wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge (i_X \beta)$

Weiter oben wurde die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes X für Funktionen über M definiert:

$\mathcal{L}_Xf = i_X df$

Für echte Differentialformen ist die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes X wie folgt definiert:

$\mathcal{L}_X\alpha = \left(i_X\circ d\ + d\circ i_X\right) \alpha$.

Sie hat die folgenden Eigenschaften:

• $\mathcal{L}_{fX}\alpha = f\mathcal{L}_X\alpha + df \wedge i_X \alpha$
• $\mathcal{L}_X(\alpha\wedge\beta)=(\mathcal{L}_X\alpha)\wedge\beta+\alpha\wedge(\mathcal{L}_X\beta)$
• $[\mathcal{L}_X,\mathcal{L}_Y]\alpha:= \mathcal{L}_X\mathcal{L}_Y\alpha-\mathcal{L}_Y\mathcal{L}_X\alpha=\mathcal{L}_{[X,Y]}\alpha$
• $[\mathcal{L}_X,i_Y]\alpha=[i_X,\mathcal{L}_Y]\alpha=i_{[X,Y]}\alpha$

Literatur

• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. Band 4: Analysis auf Mannigfaltigkeiten – Funktionentheorie – Funktionalanalysis. Spektrum, Heidelberg 2001, ISBN 3-8274-0137-2.
• Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine: Riemannian Geometry. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1990, ISBN 3-540-52401-0