Landau-Quantisierung

erlaubte Zustände von Teilchen im transversalen Impulsraum und die Bahn eines Teilchens im Ortsraum

Die Landau-Niveaus (nach Lew Dawidowitsch Landau) stellen eine Quantelung der Energie von geladenen Teilchen dar, die sich in homogenen Magnetfeldern bewegen. Man kann diese Aufspaltung zum Beispiel mit dem De-Haas-van-Alphen-Effekt nachmessen. Man kann zeigen (Herleitung siehe unten), dass die Energie eines geladenen Teilchens der Masse μ (z. B. eines Elektrons), das parallel zu einem Magnetfeld B fliegt lautet:

$E(n, v_z)=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega_c+\frac{p_z^2}{2\mu},\ \ \ \ \ n\in\N_0, p_z\in\R$

Dabei ist p_z der (beliebige) Impuls in z-Richtung und $\omega_c=-\frac{q\cdot B}{\mu}$ die Zyklotronfrequenz. Dies bedeutet, dass (wie rechts in der Abbildung angedeutet) nur bestimmte Teilchenbahnen erlaubt sind, die durch die zwei Quantenzahlen p_z und n charakterisiert werden. Man kann sich die Bewegung auch so vorstellen, dass sich das Teilchen longitudinal frei ausbreitet und transversal (radial) dazu eine harmonische Schwingungsbewegung ausführt (siehe harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)). Dies entspricht insgesamt einer Spiralbewegung um die Magnetfeldlinien. Im transversalen Impulsraum (nur p_x-, p_y-Komponente) bleibt die Bewegung somit auf einen Kreis für jede Quantenzahl n beschränkt. Im 3-dimensionalen Impulsraum liegen die Zustände also auf Zylindern (Landau-Zylinder).

Die Landau-Niveaus lassen sich vor Allem in der Festkörper-Physik messen (De-Haas-van-Alphen-Effekt). Dort sind auch die transversalen Impulse aufgrund des Kristallgitters gequantelt. Es lässt sich dann zeigen, dass auf jedem Landau-Zylinder exakt gleichviele Zustände liegen.

Theoretische Herleitung

Voraussetzungen und Aufgabenstellung

Man betrachte eine einfache Situation: Ein Teilchen der Masse μ und der Ladung q befindet sich in einem homogenen Magnetfeld $\vec{B}(\vec{r})=\left(0,0,B\right)$, das nur eine Komponente in z-Richtung aufweist. Dieses Feld kann auch durch folgendes Vektorpotenzial $\vec{A}(\vec{r})$ dargestellt werden:

$\vec{A}(\vec{r})=B\cdot\begin{pmatrix}0\\x\\0\end{pmatrix}.$

Man kann leicht zeigen, dass sich daraus über $\vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}$ wieder obiges Magnetfeld ergibt.

Man erhält dann die (zunächst noch klassische) Hamilton-Funktion dieses Systems zu:

$H(\vec{r},\vec{p})=\frac{1}{2\mu}\left[\vec{p}-q\cdot\vec{A}(\vec{r})\right]^2= \frac{1}{2\mu}\left[p_x^2+(p_y - qBx)^2+p_z^2\right]=\frac{1}{2}\mu\vec{V}^2$

Indem man die Orts- und Impulsvariablen durch die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren ersetzt, erhält man daraus den Hamiltonoperator des Systems. Im letzten Teil der obigen Gleichung wurde ein „Geschwindigkeitsoperator“ definiert, der folgende Form hat:

$\vec{V}=\frac{1}{\mu}\left[\vec{p}-q\cdot\vec{A}(\vec{r})\right]=\frac{1}{\mu}\begin{pmatrix}p_x\\p_y-q\cdot B\cdot x\\p_z\end{pmatrix}$

Aus der klassischen Behandlung weiß man, dass die Lösung des Problems eine Helixbewegung in z-Richtung ist. Darum ist es sinnvoll (was sich in den späteren Rechnungen auch zeigen wird), die folgende Aufteilung des Hamilton-Operators vorzunehmen:

$\hat{H}=\hat{H}_\bot+\hat{H}_\|,\ \ \ \ \ \mbox{mit:}\ \ \ \hat{H}_\bot=\frac{\mu}{2}\left(\hat{V}_x^2+\hat{V}_y^2\right),\ \ \ \hat{H}_\|=\frac{\mu}{2}\hat{V}_z^2$

Man erhält für den „Geschwindigkeitsoperator“ $\hat{\vec{V}}$ folgende Vertauschungsrelation:

$\left[\hat{V}_x, \hat{V}_y\right]=\frac{1}{\mu^2}\left(\left[\hat{P}_x, \hat{P}_y\right]-qB\cdot\left[\hat{P}_x, \hat{X}\right]\right)=i\hbar\frac{qB}{\mu^2}=-i\cdot\frac{\hbar\omega_c}{\mu}.$

Dabei wurde die Zyklotronfrequenz $\omega_c=-\frac{q\cdot B}{\mu}$ eingesetzt. Des Weiteren sieht man in der Definition von $\hat{\vec{V}}$ leicht, dass

$\left[\hat{V}_x, \hat{V}_z\right]=\left[\hat{V}_y, \hat{V}_z\right]=0$

Damit vertauschen auch $\hat{H}_\bot$ und $\hat{H}_\|$ miteinander und es gibt eine Basis von gemeinsamen Eigenvektoren zu $\hat{H}_\bot$ und $\hat{H}_\|$.

Eigenwerte von H_||

Es gilt folgende Vertauschungsrelation:

$\mu\cdot\left[\hat{Z}, \hat{V}_z\right]=\left[\hat{Z}, \hat{P}_z\right]=i\hbar.$

Damit ist ein Satz über Operatoren, die nach obiger Relation vertauschen, anwendbar und wir können schließen, dass $\hat{V}_z$ ein kontinuierliches Spektrum von Eigenwerten v_z hat. Weiterhin sind alle Eigenvektoren von $\hat{V}_z$ ebenfalls Eigenvektoren zu $\hat{H}_\|$. Die Eigenwerte $E_\|$ von $\hat{H}_\|$ können damit in folgender Form geschrieben werden:

$E_\|=\frac{\mu}{2}v_z^2$

Damit beschreibt also $\hat{H}_\|$, in Analogie zur klassischen Mechanik die freie Propagation eines Teilchens in z-Richtung.

Eigenwerte von H_⊥

Um die Energieeigenwerte von $H_\bot$ (und damit die sog. Landau-Niveaus) zu erhalten, führt man folgende Operatoren mit ihrer Vertauschungsrelation ein:

$\hat{Q}=\sqrt{\frac{\mu}{\hbar\omega_c}}\cdot \hat{V}_y,\ \ \ \ \ \ \hat{S}=\sqrt{\frac{\mu}{\hbar\omega_c}}\cdot \hat{V}_x,\ \ \ \ \ \left[\hat{Q}, \hat{S}\right]=\frac{\mu}{\hbar\omega_c}\cdot\left[\hat{V}_y, \hat{V}_x\right]=i$

Damit hat dann $\hat{H}_\bot$ die Form eines quantenharmonischen Oszillators, der mit der Zyklotronfrequenz ω_c schwingt.

$\hat{H}_\bot=\frac{\hbar\omega_c}{2}\left(\hat{Q}^2+\hat{S}^2\right)$

Die Energieeigenwerte von $H_\bot$ sind daher

$E_\bot(n)=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega_c,\ \ \ \ \ n\in\N_0$

Eine genauere Betrachtung zeigt, dass diese Eigenwerte unendlichfach entartet sind. Darauf deutet bereits die Tatsache hin, dass $H_\bot$ der Hamiltonoperator eines zweidimensionalen Systems ist, die Eigenwerte aber nur von einer Quantenzahl abhängen.

Eigenwerte von H

Die Gesamtenergie ergibt sich aus der Summe der Eigenenergien von $\hat{H}_\|$ und $\hat{H}_\bot$:

$E(n, v_z)=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega_c+\frac{p_z^2}{2\mu},\ \ \ \ \ n\in\N_0, p_z\in\R$

Diese Niveaus bezeichnet man als Landau-Niveaus. Sie sind unendlichfach entartet (siehe oben).

Je nach angelegtem Magnetfeld erhält man damit für ein festes p_z unterschiedliche Niveauabstände. Es gilt:

$\Delta E=\hbar\omega_c=\frac{q\cdot B\cdot\hbar}{\mu}$

Literatur

• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik 1 (1. Auflage: S.724). Walter de Gruyter, Berlin 2005, ISBN 3-11-013592-2
• Charles Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-57723-9