Kopplungsstärke

Als Kopplungskonstante α wird in der Physik eine dimensionslose Größe (also eine reine Zahl) für die Stärke einer Wechselwirkung bezeichnet. Die Kopplungskonstanten haben eine spezielle Bedeutung in (speziell-)relativistischen Quantentheorien.

Die Lagrange- oder Hamilton-Funktion (in der Quantenmechanik auch der Hamiltonoperator) lassen sich gewöhnlich aufteilen in einen kinetischen Anteil und einen Wechselwirkungsanteil, entsprechend kinetischer (oder Bewegungs-)Energie und potentieller (oder Lage-)Energie. Die Kopplungskonstante legt die Stärke des Wechselwirkungsanteils im Vergleich zum kinetischen Anteil fest, oder aber auch das Verhältnis zweier Anteile des Wechselwirkungsanteils zueinander. In der Quantenfeldtheorie (QFT) wird die Wechselwirkung durch Austauschteilchen, den Eichbosonen vermittelt. Die Kopplungskonstante gibt dann die Stärke der Kopplung dieser Austauschbosonen an die dazugehörigen Ladungen an.

Für jede der vier Grundkräfte gibt es jeweils eine Kopplungskonstante. Im Allgemeinen kann ein Elementarteilchen mehrere verschiedenartige Ladungen tragen und deshalb auch an verschiedene Eichbosonen koppeln. Ein Quark zum Beispiel besitzt eine elektrische Ladung und eine Farbladung.

Aufgrund von Quantenfluktuationen sind die Kopplungskonstanten im Gegensatz zur klassischen Physik energieabhängig, d. h. die Kopplungsstärke kann bei höheren Energien zunehmen (wie in der Quantenelektrodynamik) oder abnehmen (wie in der Quantenchromodynamik). Diesen Effekt bezeichnet man auch als das Laufen (engl. running) der Kopplungskonstante.

Kopplungskonstanten spielen eine bedeutende Rolle in der Dynamik. Man kann auf Basis der Größe verschiedener Kopplungskonstanten Näherungs-Hierarchien erstellen. Beispielsweise sind für die Bewegung eines großen Stückes aus magnetisiertem Eisen wegen des Verhältnisses der Kopplungskonstanten zueinander die magnetischen Kräfte von größerer Bedeutung als die Schwerkräfte. In der klassischen Mechanik macht man solche Entscheidungen jedoch eher aufgrund eines direkten Vergleichs der Kräfte.

Übersicht der Kräfte und der dazugehörigen Eichbosonen und Ladungen

Wechselwirkung	Eichboson(en)	Ladung	Kopplungskonstante
Starke Wechselwirkung	Gluonen (8 verschiedene)	Farbladung
Elektromagnetische Wechselwirkung	Photon γ	Elektrische Ladung	Feinstrukturkonstante α (hier auch αem)
Schwache Wechselwirkung	W + -, W − - und Z0-Boson	Schwache Ladung	αW
Gravitation	Graviton (hypothetisch)	Masse

Feinstrukturkonstante

Bei der elektromagnetischen Wechselwirkung ist die Kopplungskonstante gegeben durch die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante α und wird in diesem Zusammenhang auch als α_em bezeichnet:

$\alpha_{em} = \frac{e^2}{2 \epsilon_0 h c} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}$

(Dabei ist e die Ladung des Elektrons ohne Vorzeichen (Elementarladung), $\varepsilon_0$ die Permittivität des Vakuums, c die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit und h das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum bzw. $\hbar = h /2\pi$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum.)

Sie beschreibt die Stärke der elektromagnetischen Kraft auf ein Elektron.

Eichkopplung

In einer nicht-Abelschen Eichtheorie erscheint der Eichkopplungsparameter g in der Lagrange-Funktion gemäß gewisser Konventionen als

$\frac1{4g^2}{\rm Tr}\,G_{\mu\nu}G^{\mu\nu}$.

(wobei G der Eichfeld-Tensor ist)

Nach einer anderen gebräuchlichen Konvention wird G so skaliert, dass der Koeffizient des kinetischen Terms 1/4 ist und g tritt in der kovarianten Ableitung auf.

Das ist ähnlich zu verstehen wie die dimensionslose Version der elektrischen Ladung:

Mit der obigen Beziehung für die Feinstrukturkonstante ist

$e = \sqrt{4\pi\varepsilon_0\hbar c \alpha}$

Mit der Planck-Ladung

$q_{\rm P} = \sqrt{\hbar c 4 \pi \epsilon_0}$

folgt

$e / q_{\rm P} = \sqrt{\alpha} \approx 1 / \sqrt{137,...}$

beziehungsweise

$\alpha = \left( \frac{e}{q_{\rm P}} \right)^2\;.$

Auf diese Weise ist im elektromagnetischen Fall die (dimensionsbehaftete) Kopplungsstärke e mit der dimensionslosen Kopplungskonstanten α verknüpft.

Schwache und starke Kopplung

Eine Quantenfeldtheorie mit einer dimensionslosen Kopplungskonstanten g, wenn g ≪ 1 (d. h. wenn g wesentlich kleiner als 1) wird schwach gekoppelt genannt. In diesem Fall wird die Theorie in Potenzreihen nach g beschrieben (Störungstheorie oder perturbative Theorie). Wenn die Kopplungskonstante von der Größenordnung 1 oder größer ist, heißt die Theorie stark gekoppelt. Ein Beispiel für letzteres ist die Hadronische Theorie der Starken Wechselwirkung. In diesem Fall müssen zur Untersuchung non-perturbative Methoden, also Methoden jenseits der Störungstheorie, benutzt werden.

Elektroschwache Wechselwirkung

Im Rahmen der elektroschwachen Theorie (Glashow-Salam-Weinberg-Theorie, GSW) findet man für die 'schwache' Kopplungskonstante α_W in Analogie zur Feinstrukturkonstanten (s.o.):

$\alpha_{W} = \frac{g^2}{2 \epsilon_0 h c} = \frac{g^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c} = \left( \frac{g}{q_{\rm P}} \right)^2$

Die Kopplungsstärken e und g sind über den Weinbergwinkel θ_W

$e = g \cdot \sin \theta_W$

verknüpft.^[1] Damit gilt

$\alpha_{em} = \alpha_{W} \cdot \sin^2 \theta_W$

Die schwache Wechselwirkung wirkt auf Teilchen (Fermionen), indem diese an die Austauschbosonen der schwachen Wechselwirkung W ⁺ -, W ⁻ - und Z⁰ (W-Bosonen und Z-Boson) koppeln. Für die ersten beiden ist die Kopplungsstärke gleich, für das Z⁰ ist sie durch den schwachen Isospin T₃, die Ladungszahl des Fermions z_f = q / e und den Weinbergwinkel θ_W modifiziert:

$g_Z(f) = \frac{g}{\cos \theta_W} \cdot \left( T_3 - z_f \cdot \sin^2 \theta_W \right)$

Bzgl. der schwachen WW gibt es einen Unterschied, wie linkshändige und rechtshändige elementare Fermionen und an der schwachen WW teilnehmen. Außerdem kommt es darauf an, ob die Teilchen masselos oder massiv sind (lange wurden die Neutrinos als masselos betrachtet). Weiter ist die Kopplung an W^± und Z⁰ unterschiedlich. Antiteilchen der umgekehrten Händigkeit und Ladung verhalten sich aber wieder analog zu ihren normalen Partnern (V-A-Theorie).^[2]

Laufende Kopplung

Man kann eine Quantenfeldtheorie bei kurzen Zeiten und Distanzen prüfen, indem man die Wellenlänge oder den Impuls der benutzten Probe ändert. Bei hohen Frequenzen, d. h. kurzen Zeiten, sieht man, dass an jedem Prozess virtuelle Teilchen teilhaben. Der Grund, warum diese scheinbare Verletzung des Energieerhaltungssatzes möglich ist, ist die Heisenbergsche Unschärferelation

$\Delta E\Delta t\ge\hbar$,

die solche kurzzeitigen Verletzungen erlaubt. Diese Bemerkung trifft aber nur auf bestimmte Formulierungen der QFT su, nämlich die kanonische Quantisierung im Wechselwirkungsbild. Alternativ kann man dasselbe Ereignis mittels "virtueller" Teilchen beschreiben, die bezüglich Massenschale off shell gehen. Solche Prozesse renormieren die Kopplung und machen sie abhängig von der Energieskala μ, bei der die Kopplung beobachtet wird. Die Abhängigkeit der Kopplung g(μ) von der Energieskala wird als laufende Kopplung (eng.: running coupling) bezeichnet. Die Theorie der laufenden Kopplung wird vermöge der Renormierungsgruppe (RG) beschrieben.

Symanziksche Beta-Funktion

In der Quantenfeldtheorie (QFT) dieses Laufen eines Kopplungsparameters g nach Kurt Symanzik mit einer Symanzikschen Beta-Funktion β(g) beschrieben. Diese ist definiert durch die Beziehung:

$\beta(g) = \mu\,\frac{\partial g}{\partial \mu} = \frac{\partial g}{\partial \ln \mu}.$

Wenn die Beta-Funktionen einer QFT verschwinden (d. h. konstant Null sind), dann ist diese Theorie skaleninvariant.

Die Kopplungsparameter einer QFT können laufen, auch dann wenn das korrespondierende klassische Feld skaleninvariant ist. In diesem Fall besagt die nicht-verschwindende Beta-Funktion, dass die klassische Skaleninvarianz anomal ist.

QED und der Landau-Pol

Wenn die Beta-Funktion positiv ist, dann wächst die zugehörige Kopplung mit zunehmender Energie. Ein Beispiel ist die Quantenelektrodynamik (QED), bei der man mit Hilfe der Störungstheorie findet, dass die Beta-Funktion positive ist. Genauer gesagt, gilt α ≈ 1/137 (Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante) , während auf der Skala des Z-Bosons, also bei etwa 90 GeV, man α ≈ 1/127 misst.

Darüber hinaus zeigt uns die störungstheoretische Beta-Funktion, dass die Kopplung fortgesetzt zunimmt, und somit die QED bei hohen Energien stark gekoppelt ist. Tatsächlich wird die so ermittelte Kopplung offenbar bereits bei einer gewissen endlichen Energie unendlich! Dieses Phänomen wurde zuerst von Lev Landau festgestellt, und wird daher Landau-Pol (engl.: Landau pole) genannt. Natürlich kann man nicht erwarten, dass die störungstheoretische Beta-Funktion exakte Ergebnisse bei starker Kopplung liefert, und daher ist es wahrscheinlich, dass der Landau-Pol ein Artefakt der unangebrachten Anwendung der Störungstheorie ist. Das wahre Skalenverhalten von α bei großen Energien ist unbekannt.

QCD und Asymptotische Freiheit

In nicht-Abelschen Eichtheorien kann die Beta-Funktion negativ werden, was zuerst von Frank Wilczek, David Politzer und David J. Gross herausgefunden wurde. Ein Beispiel dafür ist die Beta-Funktion für die Quantenchromodynamik (QCD). Das hat zur Folge, dass die QCD-Kopplung bei hohen Energien abnimmt. Genau gesagt, nimmt die Kopplung logarithmisch ab, ein Phänomen, dass asymptotische Freiheit genannt wird. Die Kopplung nimmt näherungsweise ab wie

$\alpha_s(k^2) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{g_s^2(k^2)}{4\pi} \approx \frac1{\beta_0\ln(k^2/\Lambda^2)}$

(wobei β₀ eine von Wilczek, Gross und Politzer bestimmte Konstante ist; Λ ist im nächsten Abschnitt beschrieben).

Umgekehrt nimmt die Kopplung mit abnehmender Energie zu. Sie wird bei niedrigen Energien so stark, dass die Störungstheorie hier nicht mehr anwendbar ist.^[3]

QCD Skala

In der Quantenchromodynamik (QCD), wird die Größe Λ QCD Skala genannt. Ihr Wert ist

$\Lambda_{MS} = 217^{+25}_{-23}{\rm\ MeV}.$

Dieser Wert kann benutzt werden auf einer Skala über Masse des Bottom-Quarks, d. h. etwa 5 GeV. Die Bedeutung von Λ_MS beschrieben im englischen Artikel Dimensional transmutation.

Das Verhältnis der Massen von Proton und Elektron ist hauptsächlich bestimmt durch die QCD-Skala.

Stringtheorie

Eine bemerkenswert abweichende Situation gibt es in der Stringtheorie. Die störungstheoretische Beschreibung der Stringtheorie hängt von der String-Kopplungskonstanten ab. Jedoch sind in der Stringtheorie diese Kopplungskonstanten keine vorbestimmten, anzupassenden oder universellen Parameter, stattdessen sind sie Skalarfelder, die von der Position in Raum und Zeit abhängen können, deren Werte also dynamisch festgelegt sind.

Quellen und Fußnoten

• An introduction to quantum field theory, von M. E. Peskin und H. D. Schroeder, ISBN 0-201-50397-2

1. ↑ Dan Green: High P_T Physics at Hadron Colliders (Outline). In: LPC Summer School. U. S. Compact Muon Solenoid, 2005 ([www.uscms.org/LPC/talk_library/dans_2005_summerschool/1_SM_Phys.ppt]). 
2. ↑ Lehrstuhl für Experimentalphysik E18: Schwache Wechselwirkung: Die V-A-Theorie der schwachen Wechselwirkung. In: Online-Skript Teilchen und Kerne. Technisch Universität München ([1]). 
3. ↑ Siegfried Bethke und Peter Zerwas: Schwache starke Wechselwirkung – die asymptotische Freiheit der Quarks. In: Physik Journal 3. 12, Wiley-VCH, Weinheim, 2004, S. 31-35 ([2]). 

Siehe auch

• Quantenfeldtheorie, insbesondere Quantenelektrodynamik und Quantenchromodynamik
• en:canonical quantization, Renormierung
• Feinstrukturkonstante, Eichtheorie
• Renormierung
• G-Faktor
• Sam Treiman

Web Links

• The Nobel Prize in Physics 2004 – Information for the Public
• Department of Physics and Astronomy of the Georgia State University - Coupling Constants for the Fundamental Forces
• German Hacker, Hilmar Vogel: Lernprogramm: Die Vereinigung der Wechselwirkungen (WW) - Einführung in die Theorie der elektroschwachen WW (2003)
• German Hacker: Grundlagen der Teilchenphysik: Die schwache Wechselwirkung - Die schwache Ladung (2003)