Laurent-Polynom

Ein Laurent-Polynom (nach Pierre Alphonse Laurent) ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung des Begriffs Polynom. Beim Laurent-Polynom sind auch negative Exponenten zugelassen.

Definition

Ein Laurent-Polynom über einem kommutativen Ring R ist ein Ausdruck der Form

$p(X) = \sum_{k\in \Z} a_k X^k, \quad a_k\in R$,

bei dem nur endlich viele Ringelemente a_k von 0 verschieden sind. Ein Laurent-Polynom kann also als eine Laurent-Reihe mit nur endlich vielen von 0 verschiedenen Koeffizienten angesehen werden.

Der Ring der Laurent-Polynome

Mit Laurent-Polynomen rechnet man formal wie folgt:

Addition: ${}\quad\quad \sum_{i\in\Z} a_iX^i\, + \, \sum_{i\in\Z} b_iX^i = \sum_{i\in\Z} (a_i+b_i)X^i$,

Multiplikation: $\sum_{i\in\Z} a_iX^i\, \cdot \, \sum_{j\in\Z} b_jX^j = \sum_{k\in\Z} \left(\sum_{i,j: i + j = k} a_i b_j\right)X^k.$.

Diese Operationen machen die Menge R[X,X ^{− 1}] zu einem Ring, dem sogenannten Laurent-Ring über R. Es handelt sich sogar um einen R-Modul, wenn man die Multiplikation mit Elementen $a \in R$ in naheliegender Weise wie folgt definiert:

Skalare Multiplikation: $a \cdot \sum_{i\in\Z} a_iX^i\, = \, \sum_{i\in\Z} (a a_i)\,X^i$.

In vielen Anwendungen ist R ein Körper, R[X,X ^{− 1}] ist dann eine R-Algebra.

Eigenschaften

• Man erhält R[X,X ^{− 1}] aus dem Polynomring R[X], indem man die Unbestimmte X invertiert. Der Laurent-Ring über R ist damit die Lokalisierung von R[X] nach der von den positiven Potenzen von X erzeugten Halbgruppe.
• Die Einheiten von R[X,X ^{− 1}] sind von der Form aXⁱ, wobei $a\in R$ eine Einheit und $i\in \Z$ ist.
• Der Laurent-Ring über R ist isomorph zum Gruppenring von $\Z$ über R.

Derivationen des Laurent-Rings

Es sei R ein Körper. Dann ist die Menge der Derivationen auf R[X,X ^{− 1}] eine Lie-Algebra. Die formale Ableitung

$\frac{\partial}{\partial X}:\, \sum_{i\in\Z} a_iX^i \mapsto \sum_{i\in\Z} i\cdot a_iX^{i-1}$

ist eine solche Derivation. Daher ist auch für jedes $p(X)\in R[X,X^{-1}]$ durch die Definition $\textstyle T_{p(X)}:=p(X)\frac{\partial}{\partial X}$ eine Derivation gegeben und man kann beweisen, dass dies die allgemeinste Derivation auf R[X,X ^{− 1}] ist. (Ist T eine solche Derivation, so ist $p(X):=T(1\cdot X) \in R[X,X^{-1}]$ und man kann T = T_p(X) zeigen.)

Die Derivationen $\textstyle d_n := T_{-X^{n+1}} = -X^{n+1}\frac{\partial}{\partial X},\, n\in\Z$, bilden daher eine Basis. Durch eine kurze Rechnung bestätigt man die Kommutatorrelationen

• $[d_m,d_n] \,=\, (m-n)d_{m+n}$ für alle $m,n\in \Z$.

(siehe Witt-Algebra). Weiter gilt

• $d_0(X^n) = -n\cdot X^n$ für alle $n\in \Z$.

Daher nennt man $-d_0\,$ auch die Grad-Derivation.

Quellen

Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5