- Laurent-Polynom
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Ein Laurent-Polynom (nach Pierre Alphonse Laurent) ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung des Begriffs Polynom. Beim Laurent-Polynom sind auch negative Exponenten zugelassen.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Ein Laurent-Polynom über einem kommutativen Ring R ist ein Ausdruck der Form
,
bei dem nur endlich viele Ringelemente ak von 0 verschieden sind. Ein Laurent-Polynom kann also als eine Laurent-Reihe mit nur endlich vielen von 0 verschiedenen Koeffizienten angesehen werden.
Der Ring der Laurent-Polynome
Mit Laurent-Polynomen rechnet man formal wie folgt:
Addition:
,
Multiplikation:
.
Diese Operationen machen die Menge R[X,X − 1] zu einem Ring, dem sogenannten Laurent-Ring über R. Es handelt sich sogar um einen R-Modul, wenn man die Multiplikation mit Elementen
in naheliegender Weise wie folgt definiert:
Skalare Multiplikation:
.
In vielen Anwendungen ist R ein Körper, R[X,X − 1] ist dann eine R-Algebra.
Eigenschaften
- Man erhält R[X,X − 1] aus dem Polynomring R[X], indem man die Unbestimmte X invertiert. Der Laurent-Ring über R ist damit die Lokalisierung von R[X] nach der von den positiven Potenzen von X erzeugten Halbgruppe.
- Die Einheiten von R[X,X − 1] sind von der Form aXi, wobei
eine Einheit und
ist.
- Der Laurent-Ring über R ist isomorph zum Gruppenring von
über R.
Derivationen des Laurent-Rings
Es sei R ein Körper. Dann ist die Menge der Derivationen auf R[X,X − 1] eine Lie-Algebra. Die formale Ableitung
ist eine solche Derivation. Daher ist auch für jedes
durch die Definition
eine Derivation gegeben und man kann beweisen, dass dies die allgemeinste Derivation auf R[X,X − 1] ist. (Ist T eine solche Derivation, so ist
und man kann T = Tp(X) zeigen.)
Die Derivationen
, bilden daher eine Basis. Durch eine kurze Rechnung bestätigt man die Kommutatorrelationen
für alle
.
(siehe Witt-Algebra). Weiter gilt
für alle
.
Daher nennt man
auch die Grad-Derivation.
Quellen
Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5
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