Mathematiktheorie

Die Philosophie der Mathematik ist ein Bereich der theoretischen Philosophie, der anstrebt, Voraussetzungen, Gegenstand, Methode und Natur der Mathematik zu verstehen.

Ausgangspunkt

Systematisch grundlegend sind dabei Fragen nach

1. der Seinsweise der mathematischen Objekte: Existieren diese "wirklich" (unabhängig von ihrer Verwendung), und wenn ja in welchem Sinne? Was heißt es überhaupt, sich auf ein mathematisches Objekt zu beziehen? Welchen Charakter haben mathematische Sätze? Welche Beziehungen bestehen zwischen Logik und Mathematik? – Es handelt sich hierbei um ontologische Fragen.
2. dem Ursprung des mathematischen Wissens: Was ist Quelle und Wesen der mathematischen Wahrheit? Welches sind die Bedingungen der mathematischen Wissenschaft? Welches sind grundsätzlich ihre Forschungsmethoden? Welche Rolle spielt dabei die Natur des Menschen? – Dies sind epistemologische Fragen.
3. dem Verhältnis von Mathematik und Realität: Welche Beziehung besteht zwischen der abstrakten Welt der Mathematik und dem materiellen Universum? Ist Mathematik in der Erfahrung verankert, und wenn ja, wie? Wie kommt es, dass Mathematik „auf die Gegenstände der Wirklichkeit so vortreffenlich passt“ (Albert Einstein)? In welcher Weise erlangen Konzepte wie Zahl, Punkt, Unendlichkeit ihre über den innermathematischen Bereich hinaus reichende Bedeutung?

Ausgangspunkt ist fast durchgehend die Auffassung, dass mathematische Sätze apodiktisch gewiss, zeitlos und exakt sind und ihre Richtigkeit weder von empirischen Ergebnissen noch von persönlichen Ansichten abhängt. Aufgabe ist es, die Bedingungen der Möglichkeit solcher Erkenntnis zu ermitteln, wie auch diesen Ausgangspunkt zu hinterfragen.

Realismus, Platonismus

Eine unter Mathematikern verbreitete Position ist der Realismus, vertreten u.a. durch Kurt Gödel und Paul Erdős. Mathematische Gegenstände (Zahlen, geometrische Figuren, Strukturen) und Gesetze sind keine Konzepte, die im Kopf des Mathematikers entstehen, sondern es wird ihnen eine vom menschlichen Denken unabhängige Existenz zugesprochen. Mathematik wird folglich nicht erfunden, sondern entdeckt. Durch diese Auffassung wird dem objektiven, also interpersonellen Charakter der Mathematik entsprochen. Dieser ontologische Realismus ist unvereinbar mit allen Spielarten der materialistischen Philosophie.

Die klassische Form des Realismus ist der Platonismus, demzufolge die mathematischen Gegenstände und Sätze losgelöst von der materiellen Welt und unabhängig von Raum und Zeit existieren, zusammen mit dem "Guten", dem "Schönen", oder dem "Göttlichen". Das Hauptproblem des Platonismus in der Philosophie der Mathematik ist die Frage, auf welche Weise wir als begrenzte Wesen die mathematischen Objekte und Wahrheiten erkennen können, wenn sie in diesem "Ideenhimmel" beheimatet sind. Laut Gödel leistet dies eine mathematische Intuition, die, ähnlich einem Sinnesorgan, uns Menschen Teile dieser anderen Welt wahrnehmen lässt. Derartige rationale Intuitionen werden auch von den meisten Klassikern des Rationalismus und in jüngeren Debatten um Rechtfertigung oder Wissen a priori u.a. von Laurence BonJour verteidigt.^[1]

Aristoteles behandelt seine Philosophie der Mathematik in den Büchern XIII und XIV der Metaphysik. Er kritisiert hier und vielerorts den Platonismus.

Logizismus

Der Logizismus, wurde unter anderem von Gottlob Frege, Bertrand Russell und Rudolf Carnap begründet. Nach dieser These lässt sich die Mathematik vollständig auf die formale Logik zurückführen und ist folglich auch als ein Teil der Logik zu verstehen. Logizisten vertreten die Ansicht, dass mathematische Erkenntnis a-priori-Charakter hat. Mathematische Konzepte sind abgeleitet von logischen Konzepten, mathematische Sätze folgen direkt aus den Axiomen der reinen Logik.

Gottlob Frege, der als einer der großen Denker des 20. Jahrhunderts gilt, führte in seinen Grundgesetzen der Arithmetik das Gesetzesgebäude des Zahlenrechnens auf logische Prinzipien zurück. Freges Konstruktion erwies sich aber noch vor seiner vollständigen Veröffentlichung als brüchig, nachdem Russell mit seiner berühmten Antinomie zeigte, dass Zirkelschlüsse und Widersprüche seinem auf formale Logik gegründeten mathematischen Gebäude das Fundament nahmen. Russell teilte dies Frege in einem Brief mit, worauf dieser in eine tiefe persönliche Krise geriet. Später konnten mit komplizierteren Axiomensystemen die Widersprüche vermieden werden, so dass die Mengenlehre und insbesondere die Theorie der Natürlichen Zahlen widerspruchslos begründet werden konnten.

Kritisiert wird am Logizismus vor allem, dass er die Grundprobleme der Mathematik nicht löst, sondern lediglich auf solche der Logik zurückschiebt und somit keine befriedigenden Antworten gibt.

Formalismus, Deduktivismus

Der Formalismus versteht die Mathematik ähnlich einem Spiel, das auf einem gewissen Regelwerk beruht, mit dem Zeichenfolgen (strings) manipuliert werden. Zum Beispiel wird in dem Spiel "Euklidische Geometrie" der Satz des Pythagoras gewonnen, indem gewisse Zeichenfolgen (die Axiome) mit gewissen Regeln (denen des logischen Schlussfolgerns) wie Bausteine zusammengefügt werden. Mathematische Aussagen verlieren damit den Charakter von Wahrheiten (etwa über geometrische Figuren oder Zahlen), sie sind letztlich gar keine Aussagen mehr "über irgendetwas".

Als Deduktivismus wird oft eine Variante des Formalismus bezeichnet, in der z. B. der Satz des Pythagoras keine absolute Wahrheit mehr darstellt, sondern nur eine relative: wenn man den Zeichenfolgen in einer Weise Bedeutungen zuweist, so dass die Axiome und die Schlussregeln wahr sind, dann muss man die Folgerungen, z. B. den Satz des Pythagoras, als wahr ansehen. So gesehen muss der Formalismus kein bedeutungsloses symbolisches Spiel bleiben. Der Mathematiker darf vielmehr hoffen, dass es eine Interpretation der Zeichenfolgen gibt, die ihm z. B. die Physik oder andere Naturwissenschaften vorgeben, so dass die Regeln zu wahren Aussagen führen. Ein deduktivistischer Mathematiker kann sich also sowohl von der Verantwortung für die Interpretationen als auch von den ontologischen Schwierigkeiten der Philosophen freihalten.

David Hilbert gilt als bedeutender früher Vertreter des Formalismus. Er strebt einen konsistenten axiomatischen Aufbau der gesamten Mathematik an, wobei er wiederum die natürlichen Zahlen als Ausgangspunkt wählt, in der Annahme, damit ein vollständiges und widerspruchsloses System zu besitzen. Dieser Auffassung hat kurze Zeit später Kurt Gödel mit seinem Unvollständigkeitssatz den Boden entzogen. Damit war für jedes Axiomensystem, das die natürlichen Zahlen umfasst, bewiesen, dass es entweder unvollständig oder in sich widersprüchlich ist.

Strukturalismus

Der Strukturalismus betrachtet die Mathematik in erster Linie als eine Wissenschaft, die sich mit allgemeinen Strukturen beschäftigt, d.h. mit den Relationen von Elementen innerhalb eines Systems. Um dies zu illustrieren, kann man etwa als Beispiel-"System" etwa die Verwaltung eines Sportvereins^[2] betrachten. Die verschiedenen Ämter (etwa Vorstand, Kassenprüfer, Kassenwart usw.) lassen sich unterscheiden von den Personen, die diese Aufgaben übernehmen. Wenn man nur das Gerüst der Ämter betrachtet (und somit die konkreten Personen, die sie ausfüllen, "weglässt"), dann erhält man die allgemeine Struktur eines Vereins. Der Verein selbst mit den Personen, die die Ämter übernommen haben, exemplifiziert diese Struktur.

Ebenso exemplifiziert jedes System, deren Elemente einen eindeutigen Nachfolger haben, die Struktur der natürlichen Zahlen: Analoges gilt für andere mathematische Objekte. Da der Strukturalismus Objekte wie Zahlen nicht losgelöst von ihrer Gesamtheit oder Struktur betrachtet, sondern sie mehr als "Plätze in einer Struktur" sieht, weicht er der Frage nach der Existenz von mathematischen Objekten aus bzw. klärt sie als Kategorienfehler. So ist etwa die Zwei als natürliche Zahl nicht mehr losgelöst von der Struktur der natürlichen Zahlen zu betrachten, sondern ein Bezeichner für den "zweiten Platz in der Struktur der natürlichen Zahlen": weder hat sie interne Eigenschaften noch eine eigene Struktur. Dementsprechend gibt es sowohl Varianten des Strukturalismus, die mathematische Objekte als existent annehmen, als auch solche, die ihre Existenz ablehnen.

Probleme ergeben sich bei dieser Strömung insbesondere aus der Frage nach den Eigenschaften und dem Sein der Strukturen. Ähnlich wie im Universalienstreit handelt es sich bei Strukturen offenbar um etwas, dass gleichzeitig vielen System zukommen kann. So wird die Struktur einer Fußballmannschaften sicher von Tausenden Mannschaften exemplifiziert. Es stellt sich also die Frage, ob und wie Strukturen existieren, ob sie etwa unabhängig von Systemen existieren. Andere offene Fragen betreffen den Zugang zu Strukturen; wie können wir etwas über Strukturen lernen?

Aktuelle Vertreter des Strukturalismus sind Stewart Shapiro, Michael Reznik und Geoffry Hellman.

Andere Theorien

Der von Luitzen Brouwer begründete Intuitionismus verneint die Nützlichkeit der formalen Logik für die Mathematik. Eine Verallgemeinerung des Intuitionismus ist der Konstruktivismus.

Der Konventionalismus wurde von Henri Poincaré entwickelt und teilweise von logischen Empiristen (Rudolf Carnap, Alfred Jules Ayer, Carl Hempel) weiterentwickelt.

Ein anderes bedeutendes Thema ist die Rechtfertigung einer mathematischen Theorie. Da die Mathematik (anders als die Naturwissenschaften) nicht experimentell überprüft werden kann, sucht man nach Gründen, eine bestimmte mathematische Theorie für richtig zu halten (siehe auch Erkenntnistheorie).

Von der Perspektive des Mathematikers ausgehend und zugleich auf die Erkenntniskritik Immanuel Kants zurückgreifend, ergibt sich die Frage nach der kategorialen Verfassung des Menschen, aus welcher sich die mathematischen Disziplinen ableiten lassen (vgl. Ernst Kleinert).

Auch in populärwissenschaftlicher Literatur werden Fragen der Philosophie der Mathematik vorgestellt. So wird u.a. von John D. Barrow und Roger Penrose diskutiert, wieso die Mathematik überhaupt nützlich ist und warum sie so gut auf die Welt passt.

Siehe auch

• Ästhetik
• Geschichte der Mathematik

Einzelnachweise

1. ↑ Vgl. In Defense of Pure Reason, A Rationalist Account of A Priori Justification, 1998, ISBN 978-0-521-59236-9 und mit direktem Bezug zur Philosophie der Mathematik beispielsweise Hartry Field: Recent Debates About the A Priori (mit weiterer Literatur).
2. ↑ Stewart Shapiro, "Thinking About Mathematics", Oxford 2000, S. 263

Literatur

Einführendes für Laien

• Philip J. Davis; Reuben Hersh: Erfahrung Mathematik (1985).
• John D. Barrow: Pi in the Sky. Deutsch: Ein Himmel voller Zahlen (1992).
• Donald M. Davis: The Nature and Power of Mathematics (1993).
• Roger Penrose: The Road to Reality (2005).
• Ted Honderich: The Oxford Companion to Philosophy (Neuauflage 2005).
• Stewart Shapiro: Thinking About Mathematics, Oxford: Oxford University Press (2000).

Fachliteratur

• Paul Benacerraf; Hilary Putnam (Hgg.): Philosophy of Mathematics (1964).
• Ernst Kleinert: Mathematik für Philosophen, Leipzig: Leipziger Universitätsverlag, 2004, ISBN 978-3-86583-016-6
• Hartry Field: Realism, Mathematics and Modality, Oxford: Blackwell (1989).
• Hartry Field: Science Without Numbers: A Defence of Nominalism, Princeton Univ. Pr. (1980), ISBN 0-691-07260-4.
• W. Hart (Hg.): The Philosophy of Mathematics, Oxford: Oxford University (1996).
• P. Kitcher: The Nature of Mathematical Knowledge, Oxford: Oxford University (1983).
• Penelope Maddy: Realism in Mathematics, Oxford: Clarendon Press (1990).
• Penelope Maddy: Naturalism in Mathematics, Oxford: Clarendon Press (1997).
• Charles Parsons: Mathematics in Philosophy: Selected Essays, Ithaca: Cornell University Press (1983).
• Stewart Shapiro: Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology, Oxford: Oxford University Press (1997).

Spezielleres

• Hermann Weyl: Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft (aus dem Handbuch der Philosophie (1928).
• Eugene Wigner: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, in: Communications in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, No. I (1960).
• Christian Thiel: Philosophie und Mathematik: eine Einführung in ihre Wechselwirkungen und in die Philosophie der Mathematik, Darmstadt : Wissenschaftliche Buchgesellschaft, 1995

Weblinks

• Leon Horsten: Eintrag in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)Vorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und Parameter 3 und nicht Parameter 2
• Mark Colyvan: „Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics“ in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)
• Alexander Paseau: „Naturalism in the Philosophy of Mathematics“ in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)
• Øystein Linnebo: The Nature of Mathematical Objects, erscheint in: B. Gold (Hg.): Current Issues in the Philosophy of Mathematics from the Perspective of Mathematicians, Mathematics Association of America 2008